有没有算法来计算利萨如图的面积？

问题描述：

V = V(t) and U = U(t)

是周期性的时间与他们之间的相位差的测量。当在图V vs U中彼此相互作图时，它们形成利萨如图，我想计算其中的面积。

是否有这样的计算算法？

我想用Python解决这个问题。但是，以任何语言或算法做出响应将非常感激。可以使用类似的表达式来产生V和U信号的

实例：

V(t) = V0*sin(2*pi*t) ; U(t) = U0*sin(2*pi*t + delta)

图1示出的V,U VS t为V0=10, U0=5, t=np.arange(0.0,2.0,0.01)和delta = pi/5的曲线图。

以及图2显示了相应的Lissajous图V VS U。

这是一个更普遍的问题的一个具体的问题：如何计算与离散(x_i,y_i)数据集获得积分的闭合路径？

可以使用极性区域在't'是关系到极角的情况积分。在一般情况下，您需要按极角对点进行排序，并将由每对相邻点和原点形成的三角形的面积相加 – meowgoesthedog

如果您要求提供任何李沙育图的面积，则必须定义你的意思是按照这个曲线的面积https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve#/media/File%3ALissajous_curve_5by4.svg – algrid

是@algrid，很难定义这个区域是什么一种利萨如曲线（我的猜测是外轮廓定义了该区域）。但对于使用V和U信号以相同频率生成的曲线（我所问），我们没有这个问题。 –

答

查找（关闭）参数曲线的面积在直角坐标系中，可以使用格林公式（4-th formula here）

A = 1/2 * Abs(Integral[t=0..t=period] {(V(t) * U'(t) - V'(t) * U(t))dt})

但请记住，解释 - 什么是下自相交曲线实际面积 - 是模糊的，如@algrid在评论中发现

答

通常为李萨形状的最外面的曲线区域我想试试这个：

信号的查找周期

所以找到T例如：上t=<0,T>
```
U(t) = U(t+T) 
V(t) = V(t+T) 
```
样本数据我会使用极坐标系中心等于平均U,V坐标上间隔t=<0,T>和称它为U0,V0。转换并存储数据在极坐标这样：

a(t)=atan2(V(t)-V0 , U(t)-U0) r(t)=sqrt((U(t)-U0)^2 + (V(t)-V0)^2)

并记住只有每个角度位置最大半径点。这可以通过数组（通过角度限制精度）或通过计算与重叠线段的折线交点来完成。并去除内部零件。

计算从采样数据

面积因此，通过饼图三角形求和用于覆盖整个圆每个角位置计算的区域。

这可能不适用于异国情调的形状。

答

以上两种解决方案 - by @MBo和@Spektre（以及评论中的@meowgoesthedog） - 都可以正常工作。感谢你们。

但我发现另一种方式来计算面积的椭圆利萨如曲线的A：使用A = Pi*a*b式（a和b分别是主要和次要半轴的椭圆的）。

步骤：

1 - 查找V（或U）信号的周期T;

2 - 在所述时间间隔0<t<T：

2.A - 计算的V和U（V0和U0）的平均值，以便确定椭圆的中心;

2.B - 从使用点（V0，U0）计算距离r(t)： - ：

a = max(r(t)); b = min(r(t))

4 - 计算A

r(t)=sqrt((U(t)-U0)^2 + (V(t)-V0)^2)

3使用查找a和b值： A = Pi*a*b

利萨如曲线总是elli如果U，V信号类似于正弦曲线并且具有相同的频率。

抓住机遇，我将针对V，U信号为三角形且频率相同的情况提出解决方案。在这种情况下，利萨如曲线将是一个平行四边形，那么就可以使用A = 2*|D|*|d|*sin(q)，其中|D|和|d|分别是，主要和次要半对角线平行四边形的和q的长度计算出其面积A是之间的角度载体D和d。

对于椭圆的情况重复步骤1和2。

在步骤3中，我们将有：

|D| = max(r(t)) = r(t1); |d| = min(r(t)) = r(t2)

4' - 获取t1和t2并利用它们来获取坐标（V(t1)=V1，U(t1)=U1）和（V(t2)=V2，U(t2)=U2）。然后，矢量D和d可以写为：

D=(V1,U1)-(V0,U0); d=(V2,U2)-(V0,U0)

5' - 计算D和d之间的角度q;

6' - 执行的A计算：A = 2*|D|*|d|*sin(q)

有没有算法来计算利萨如图的面积？

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