高等数学期末总复习DAY14.二重积分

DAY14.

我不想过那种一眼望得到头的人生，所以我努力摆脱困境。

二重积分

二重积分的例题一般要求你求平面区域的面积

所以这里就分两种坐标计算的题型

1. 平面直角坐标

$I = \iint_D f(x,y)d_xd_y$I=∬D​f(x,y)dx​dy​

X型区域：$I = \int_a^{b} d_x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f (x,y)d_y$I=∫ab​dx​∫y1​(x)y2​(x)​f(x,y)dy​
Y型区域：$I = \int_a^{b} d_y \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f (x,y)d_x$I=∫ab​dy​∫x1​(y)x2​(y)​f(x,y)dx​

2. 极坐标系

$I = \int_{\alpha}^{\beta} d_{\theta} \int_{\varphi_1 (\theta)}^{\varphi_2 (\theta)} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta)\rho d_\rho$I=∫αβ​dθ​∫φ1​(θ)φ2​(θ)​f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ​

注意不要忘记极坐标里面最后那个 $\rho$ρ

在计算的时候要注意这么几点：

1） 划分的区域D要简单，越简单越好
2）如果D和圆有关，$f(x,y) 与 x^2 + y^2 , \frac{y}{x},\frac{x}{y}$f(x,y)与x2+y2,xy​,yx​ 有关，我们解题一般使用极坐标
3）要特别注意是否可以使用对称性来解题。

若D关于 x 轴对称，记 x 轴以上的区域为$D_1$D1​

有： $\iint_D f(x,y) d_\sigma = 0$∬D​f(x,y)dσ​=0 其中 f 为奇函数； $S = 2\iint_{D1} f(x,y) d_\sigma$S=2∬D1​f(x,y)dσ​ 其中f为偶函数

例题

1. 求$\iint_D (3x+2y) d_xd_y,D是由 x+y = 2, x=0,y=0$∬D​(3x+2y)dx​dy​,D是由x+y=2,x=0,y=0所围成的图形。

解：积分区域如图所示

$I = \iint_D (3x+2y) d_xd_y$I=∬D​(3x+2y)dx​dy​

选用x型区域积分

$= \int_0^{2} d_x \int_0^{2-x} (3x+2y)d_y$=∫02​dx​∫02−x​(3x+2y)dy​

$= \int_0^{2} 3xy + y^2 |_0^{2-x} d_x$=∫02​3xy+y2∣02−x​dx​

$=\frac{20}{3}$=320​

2. 将 $I = \int_0^1 d_x \int_0^{x^2} f(x,y) d_xd_y$I=∫01​dx​∫0x2​f(x,y)dx​dy​化成极坐标

先画出被积区域如图：

化成极坐标为：

选用y型区域，穿入线为 $y = x^2, 穿出线为 x = 1$y=x2,穿出线为x=1，将这两条线化为极坐标形式即为$\rho$ρ的被积函数。

$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} d_\theta \int_{\tan \theta \sec \theta}^{\sec \theta} f(\rho \cos \theta,\rho \sin \theta) \rho d_\rho$I=∫04π​​dθ​∫tanθsecθsecθ​f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ​

3. 求$I = \iint_D (x^2 + y^2 + 3x -6y +9) d_\sigma$I=∬D​(x2+y2+3x−6y+9)dσ​

其中D为半径为R的圆：

解： 因为$D$D关于X轴Y轴对称

所以 $\iint_D 3x d_\sigma = 0, \iint_D -6y d_\sigma = 0$∬D​3xdσ​=0,∬D​−6ydσ​=0

其中3x是关于x轴的奇函数， -6y是关于y轴的奇函数

则：$I = \int_0^{2 \pi} d_\theta \int_0^{R} \rho^2 \rho d_\rho$I=∫02π​dθ​∫0R​ρ2ρdρ​ $= \frac{\pi}{2} R^4 + 9\pi R^2$=2π​R4+9πR2