第二章：谓词逻辑复习笔记

一、谓词和量词

1.个体常元和个体变元

• 个体常元：a,b,c…

• 个体变元：x,y,z…，取值范围称为论域，或者个体域，用D表示

2.谓词

刻画单个个体的特性或者多个个体间关系的模式称为谓词

• 一元谓词:P(a),Q(b)
• 二元谓词:Q(x,y),P(x,y)
• ……

3.n元命题函数

$P(x_1,x_2,...,x_n):n元命题函数$P(x1​,x2​,...,xn​):n元命题函数

当n=0时，P退化成为命题

4.量词

（1）全称量词$\forall$∀

$\forall xP(x)$∀xP(x)：对于任意的x都有p(x)

（2）存在量词$\exists$∃

$\exists xP(x)$∃xP(x):存在x满足p(x)

（3）量化

在谓词 P（x,y） 或 Q (x, y) 等前面加上全称量词∀或者存在量词∃，称个体变元 x被全称量化或存在量化

（4）论域

量化后所得命题的真值与变元的论域相关，默认情况下为全总个体域

公式中特性谓词的引入有两条规则：

• 规则 1：对于全称量词，特性谓词作为条件式的前件加入之；
• 规则 2：对于存在量词，特性谓词作为合取式的合取项加入之；

二、谓词公式

1.原子公式

不出现命题联结词和量词的单个谓词，称为谓词演算的原子公式。单个命题常元和命题变元也是谓词演算的原子公式

2.约束变元和自由变元

（1）作用变元

$\exists xP(x)或者\forall xQ(x)，这里的\exists和\forall后面紧跟的x为作用变元$∃xP(x)或者∀xQ(x)，这里的∃和∀后面紧跟的x为作用变元

（2）辖域

$\exists x或者\forall y$∃x或者∀y之后跟着的最小子公式称为辖域

（3）自由变元，约束变元

在 ∀x 或 ∃x 辖域内出现的个体变元 x称为约束变元（bound variable）。

没有被任何量词约束的个体变元称为自由变元（free variable）。

（4）约束变元的换名

约束变元的换名规则如下：

• 对某个约束变元换名时，需对量词的作用变元以及该量词辖域内所有受该
  量词约束的约束出现变元一起换名。
• 换名后的变元符号，应是量词辖域内未出现的符号，最好是整个公式中未
  出现的符号。

自由变元的代入规则如下：

• 自由变元代入时，谓词公式中该变元出现的每一处都要同时代入。
• 代入选用的变元符号是原公式中未出现的符号。

三、谓词演算的永真公式

1.赋值

对于一个谓词公式，

• 若给它指定一个个体域 E，
• 再给所有谓词符均指派出确定的含义（具体的特性或关系），
• 并为所有自由变元分别指派E 上确定的个 体，
• 称为对谓词公式的一个赋值。

2.谓词公式的等价式和蕴含式

1.等价式

2.蕴含式

3.谓词公式的永真式，永假式，可满足式

3.常用逻辑等价式和蕴含式

（1）命题逻辑的等价式和蕴含式可以推广应用于谓词公式

（2）量词的否定

$¬\forall xP(x)\Leftrightarrow\exists x¬Q(x)\\ ¬\exist xQ(x)\Leftrightarrow\forall x¬Q(x)$¬∀xP(x)⇔∃x¬Q(x)¬∃xQ(x)⇔∀x¬Q(x)

（3）量词辖域的收缩与扩张

（4）量词的分配形式

（5）多个量词的永真式

谓词公式中常用的等价公式和蕴含公式

四、谓词逻辑的推理理论

1.常用推理规则

（1）存在指定规则（Existential Specification）

简记为ES
$\frac{\exists xP(x)}{∴ P(a)}$∴P(a)∃xP(x)​
通常指定为论域中某一确定的个体 a，前提是所指定的个体使得谓词的真值为真.

（2）全称指定规则（Universal Specification）

简记为US
$\frac{\forall xP(x)}{∴P(y)}\\ 且有\frac{\forall xP(x)}{∴P(a)}$∴P(y)∀xP(x)​且有∴P(a)∀xP(x)​

(3)存在推广规则Existential Generalization）

简记为EG
$\frac{P(a)}{∴\exists xP(x)}$∴∃xP(x)P(a)​

（4）全称推广规则

简称UG
$\frac{\Gamma \Rightarrow P(x)}{\Gamma \Rightarrow \forall xP(x)}$Γ⇒∀xP(x)Γ⇒P(x)​

Generalization）

简记为EG
$\frac{P(a)}{∴\exists xP(x)}$∴∃xP(x)P(a)​

（4）全称推广规则

简称UG
$\frac{\Gamma \Rightarrow P(x)}{\Gamma \Rightarrow \forall xP(x)}$Γ⇒∀xP(x)Γ⇒P(x)​

运用常见的等价式，蕴含式，结合上述的规则可完成一定的谓词逻辑的推理。