一、好玩题
(1)人生路上,会遇到很多合适的人,笔者也相信着有情人终将眷属。只是在做出一生一世承诺前,我们是否应该多一些理性思考?一个男生从头走到尾,试图找到一个最适合自己的女生,一旦找到就不能选择其他的女生,错过也不能回头,问,他最大可能和那个最合适的女孩走到一起的最好的策略是什么?
#机器学习的入门概念+概率论+极限+积分(有点难)
假设总共遇到女生数量是n,前面k个女生做为训练集合,后n-k个女生作为测试样本。策略为:前k个女生只交往不结婚(无论多合适),后n-k个女生只要一遇到比前面k个女生都合适的,立马结婚,一生一世,绝不背离。问题在于k的选取。
对于一个固定的k,想要选到最合适的女生,必须满足两个条件:
1、最合适的女生是后n-k之中一个
2、最合适女生前所有女生(不包括她自己)合适度最高的那个必须在训练集合里面,而不在测试集合里面。
遍历条件一(每个发生的概率都是1/n),乘上条件二发生的概率f(k)=i=k+1∑nn1∗i−1k=nki=k+1∑ni−11=nk∗(k1+k+11+k+31+......n1)
f(k)表示在训练集数量为k的时候,选到最合适女孩的概率。令x=nk,k=nx代入,得f(k)=x∗(nx1+nx+11+nx+21+......n1)=x∗n1(x1+x+n11+x+n21+......+1)=x∗∫x1t1dt=−x∗ln(x)
对x求导得−ln(x)−1当x取e1时函数取极大值。所以应该以前e1∗n个女生作为训练集合,可以保证最大可能和最合适女生厮守一生。
(2)、某大公司有这么一个规定:只要有一个员工过生日,当天所有员工全部放假一天。但在其余时候,所有员工都没有假期,必须正常上班。这个公司需要雇用多少员工,才能让公司一年内所有员工的总工作时间期望值最大?
纯概率论
设公司n个人,考虑每一天,要么所有员工都上班,要么全部放假。全部上班=没有人过生日=每个人都在一年的其他日子过生日。p(这一天公司上班)=(365364)n则对于每天公司所有人工作总时长的数学期望(一年就*365)是:E=p(这一天公司上班)∗n+0∗p(这一天公司不上班)=(365364)n∗n直接求导不方便,取对数求导。可得n=ln3643651=364.4998时函数取极大值,所以公司364或者365人时可以达到最大工作时间期望。
(3)一根棍子长度为N劈成三段,求这三段可以拼成三角形概率。
线性规划(较简单)
设第一段长度为x,第二段长度为y
只有如图所示面积可以组成三角形,概率是0.25.
(4) 一个袋子,只有蓝色球和红色球,有放回抽球,抽到蓝色结束,问抽球次数的数学期望。
概率论(简单题)
设抽到蓝色球概率为p,红色球概率q,p+q=1.抽球次数分布列如下:
次数 |
1 |
2 |
3 |
… |
n |
概率 |
p |
qp |
q2p |
… |
qn−1p |
数学期望为E=1∗p+2∗qp+3q2p+...+nqn−1p=p(1+2∗q+3q2+...+nqn−1),令s=1+2∗q+3q2+...+nqn−1,∫sdq=q+q2+q3+...+qn=1−qq,则E=p∗(1−q)21=p1
二、概念题
(1)贝叶斯学派和经典学派区别
这个我有一篇论文,回头单独写一篇介绍
(2)欧拉公式
最美的公式:eix=cosx+isinx
(3)概率和似然的关系
笔者认为,二者都是经典概率学派的观点,概率是事情未发生前,人们假定上帝已经规定好了这个时间发生的可能性,称为概率。
似然是事件已经发生,根据发生的结果,反过来推断参数,找到参数取哪一个值最有可能导致已经发生的这件事情的发生。最常见的:极大似然估计。
(4)什么是共轭先验分布
贝叶斯学派认为事情发生的概率不是固定的,事情发生的概率p本身也是一个先验概率且服从π1(θ),事情发生之后,人们经验改变,得到后验概率π2(θ),如果π1(θ)和π2(θ)具有相同的函数形式(注意:不一定要完全一样,θ服从同一种分布就可以 ),则称π1(θ)为共轭先验分布。
(5)切比雪夫不等式(考研会考)
p(∣x−u∣>kσ)≤k21