傅里叶变换学习笔记

傅里叶级数（FS）——傅里叶变换（FT）——离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）——离散傅里叶变换（DFT）

傅里叶级数（FS）

任何一个周期为T的函数都可以分解为若干个周期是T的整数倍的三角函数的叠加，公式为：
$a_{k}=\dfrac{1}{T}\int_{T}x(t)e^{-j\cdot2\pi (\frac{k}{T})t}dt$ak​=T1​∫T​x(t)e−j⋅2π(Tk​)tdt
当周期T逐渐变大时，如下图：



容易发现频域最大值逐渐变小，而且频率之间的间隔越来越小，散点越来越密
合理外推，如果$T$T趋于无穷，并且令前面的系数$\frac{1}{T}$T1​乘到$a_{k}$ak​，那么最后将会得到一个平滑的曲线$F(\omega)$F(ω)

傅里叶级数： > 周期连续——离散非周期

傅里叶变换（FT）

傅里叶变换实际上是傅里叶级数的近似，甚至可以说，两者是同一个东西。傅里叶级数的频域图像表示的是 每一个频率分量的振幅；而傅里叶变换的频域图像表示的是 每一个频率分量的振幅乘上周期（无穷小乘上无穷大得到确定的值），或者说，不同频率分量函数值之比是不变的。

傅里叶变换： > 非周期连续——连续非周期

离散傅里叶变换（DFT）

离散傅里叶变换是最具实用价值的变换。

现实生活中，计算机要处理的数据总是离散的序列，而且必须有限长。如果直接应用傅里叶变换，将会导致 离散非周期——周期连续，变换之后是连续信号，而这个连续的性质是由于时域信号的非周期性质导致的。

如果我们希望 非周期离散——离散非周期，那么就需要将非周期信号延拓成周期信号，然后取主值进行分析。这样一来，便引入了新的变换——离散傅里叶变换DFT

下面举一个实际应用的例子：

假设有一个时域模拟信号$x_a(t)=(-1.5x^3+1.7x^2-0.3)doorFunc(-1, 1)$xa​(t)=(−1.5x3+1.7x2−0.3)doorFunc(−1,1)
对其进行傅里叶变换得到频域波形$X_a(f)$Xa​(f)
然后对这个模拟信号进行采样得到离散序列$x(n)$x(n)
对此离散序列进行离散傅里叶变换得到频域离散序列$X(k)$X(k)

我们发现，$X(k)$X(k)和$X_a(f)$Xa​(f)波形差别很大，原因就在于DFT的本质：

将时域序列进行周期延拓，对周期延拓的序列进行傅里叶变换，再取主值序列

$x_a(t)$xa​(t)是非周期信号，我们对其周期延拓$x_{aT}(t)$xaT​(t)进行采样，然后进行傅里叶变换，得到频域周期离散信号，然后取主值序列，就是右下角的$X(k)$X(k)，所以$X(k)$X(k)具有严格的数学理论支持以及明确的物理意义。

但是原信号$x_a(t)$xa​(t)本非周期信号，如果我们直接对其进行傅里叶变换，就相当于对$x_{aT}(t)$xaT​(t)加上矩形窗再变换，其结果$X_a(f)$Xa​(f)必然是$X(k)$X(k)和矩形窗函数的变换——$sinc(f)$sinc(f)相卷积。上图能非常直观地看到这个结论。

通常我们说，人说话的声音是带限信号（200~700Hz）。如果录下一段说话的音频，那么这个音频不论多长，总归是有限长，对其进行变换，势必会得到频域无限长信号。这与我们所说的“带限信号”直觉不符。而如果对其进行DFT，也就是对其周期延拓信号进行了变换，只要采样频率满足奈奎斯特采样定理，这个信号的频域波形就势必是带限的。

另外，由于DFT有快速计算方法（DFT），所以计算机都使用DFT，而不是符号运算的FT

下图是音频信号原信号和其FFT变换，可以发现，音频信号是一个带限信号

离散傅里叶变换： > 周期离散——离散周期

离散时间傅里叶变换（DTFT）

对于时域（无限长和有限长都可）信号进行采样得到的序列，我们将其看作频域信号的傅里叶级数，然后对其进行傅里叶级数的级数求和（当然正负号要变一下，毕竟这个DTFT也是从FT推出来的，和直接进行级数求和有一个符号上的差别）
DTFT：$X(f)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{-j\cdot2\pi n\cdot f}$X(f)=n=−∞∑+∞​x(n)e−j⋅2πn⋅f（在这里T=1）
DS：$x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}e^{j\cdot2\pi\frac{k}{T}\cdot t}$x(t)=k=−∞∑+∞​ak​ej⋅2πTk​⋅t

离散时间傅里叶变换： > 非周期离散——连续周期