支持向量机

间隔与支持向量

给定训练样本集D，分类学习最基本想法就是基于训练集D在样本空间中找到一个划分超平面，将不用类别的样本分开。

在样本空间中，划分超平面可通过如下线性方程来描述：

其中w为法向量，决定了超平面的方向；b为位移项，决定了超平面与原点之间的距离。

样本空间中任一点x到到超平面（w，b）的距离可写为

假设超平面（w，b）能将训练样本正确分类，即对于（xi,yi）∈D，有

如下图所示，距离超平面最近的这几个训练样本点使得上式等号成立，他们被称为“支持向量”，两个异类支持向量到超平面的距离之和为

它被称为“间隔”。

为了找到“最大间隔”，仅需最大化。

可重写为

这就是支持向量机（简称 SVM）的基本型。

对偶问题

我们希望求解上式来得到大间隔划分超平面所对应的模型

通过拉格朗日乘数法可得到其“对偶问题”（ai是拉格朗日乘子），即

接触α后，求出w与b即可得到模型

同时，也要满足KKT条件，即要求

核函数

我们假设训练样本是线性可分的，即存在一个划分超平面能将驯良样本正确分类，然而在现实任务中，原始样本空间内也许并不存在一个能正确划分两类样本的超平面，如下图。

对这样的问题，可将样本从原始空间映射到一个更高维的特征空间，使得样本在这个特征空间内线性可分。如上图，若将原始的二维空间映射到一个合适的三维空间，就能找到一个合适的划分超平面。如果原始空间是有限维，即属性数有限，那么一定存在一个高维特征空间使样本可分。

以同样地方式可求得高维特征空间中超平面划分的模型是

 

其中，∮（x）指的是将x映射后的特征向量，就是“核函数”，模型最优解可通过训练样本的核函数展开，这一展式称为“支持向量展式”。