反向传播超清晰理解加推导

我们知道，输入值的正向传播会得到有意义的输出值，那么误差的反向传播会得到什么呢？得到的东西有什么意义吗？误差反向传播更新W、b有什么依据吗？又有鸡毛用呢？

*总结一下就是：（1）误差通过一个神奇的反向传播过程会越来越小，而通过（2）公式的推导可以得知代价函数J只和W&b有关。（3）梯度下降就是调整W&b来减小J，达到一个所谓的最优，这样你在实际使用这个网络的时候（只有正向传播），会得到一个所谓最优的输出Y。因为整个过程中起作用的只有W&b，那些什么a、z、**函数不过是运算过程中的中间代谢物和规则而已。

接下来我们对总结中标记的问题作出回答。

1、为什么误差通过一个神奇的反向传播过程会越来越小？

对于定义的代价函数J，可以很明显的看出这是一个J关于a的开口向上的二次函数，一定存在极小值点，我们又知道这个极小值点只和他的参数有关（x=-b/2a）,这里就是包含在a中的W&b。

（也可能会是其他的凸函数，但保证有极小值点是一定的）
反向传播时会用到梯度下降，直白点就是找到W&b使J能取到这个最小值，而y-a就是那个误差。

2、公式的推导证明J只和W&b有关

借图如下，忽略细节，直接以向量表示开始，便于整体的快速理解，即



J只和W&b有关对吧。

3、梯度下降就是调整W&b来减小J，达到一个所谓的最优

梯度下降为什么能减小J已经在第一个问题中说了，而之所以说是所谓的最优，是因为得到的并不是100%最优的选择，这个问题就先不说了。
重点是最后一层的误差我们可以直接通过y-a得到，那么隐藏层的误差了？其实实际的误差只有一个——就是输出层的误差，隐藏层并不存在真正的误差，它们不过是中间产物而已。
所以这里有个残差的定义：

由它可以推导出反向传播的第一大公式 BP1


其实都一样。
因为y只存在于最后一层，可以这么定义残差，但传入隐藏层的时候就没有下一个残差了，怎么办？
BP2

由于nl 层是输出层，我们从nl-1来计算残差，即

我们把nl和nl-1关系切换到隐藏层l+1和l层，即可得

下面来看BP3


BP4


完全写成向量形式就是：

整个推导只要一步步来就没啥问题，最大的问题就是里面的上下标，这里推荐看着那个三层的网络去写。尤其是在求W的偏导时，并不是一一对应，需要注意！
文献
这种东西也不要多看，大家用的标记都不一样，看的越多越懵逼，这里推荐两个文献，仔细看，完全够用。
[1]:http://deeplearning.stanford.edu/wiki/index.php/反向传导算法
[2]: https://blog.****.net/qq_32865355/article/details/80260212