本文介绍了逻辑回归模型的原理。逻辑回归模型参数估计。逻辑回归模型的评估。逻辑回归模型的评估。因为这门课程偏重于入门，所以对统计学方面的知识，没有进一步深挖。如果一些知识不好理解，先大体看看，留下印象。可以暂时先跳过，只记住结论。循序渐进，以后有这方面的需求再专门去学习相关知识。

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1. 逻辑回归

1.1 分类变量

注意：在分类问题中常常使用**哑变量（Dummy Coding）**来表示类别，从索引0开始编码，比如有苹果、桃子、西瓜、鸭梨4类，则将这4类编码为0,1,2,3。常用one-hot编码，则返回一个4×4表格，对应类别处为1，其余位置为0。如下图所示：

	0	1	2	3
0	1	0	0	0
1	0	1	0	0
2	0	0	1	0
3	0	0	0	1

在机器学习分类算法中，通常会使用one-hot编码将类别编码成哑变量，算法训练完成后，预测输出为类似于上表的概率表（表中的0,1换为概率），然后与设定的阈值比较，输出概率最大的分类，最后，将有实际含义的类别名称与哑变量对应起来作为输出。

1.2 因变量是分类变量

实例：


求解残差的期望：

1.3 因变量是分类变量带来的影响

通过以上的概率模型就表达了因变量是分类变量时，线性模型的拟合情况。

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2. Logistic（Sigmoid） 函数

使用matplotlib绘图，单极性Sigmoid函数：

双极性Sigmoid函数：

2.1 Logistic函数由来

2.2 Logistic回归

使用Logistic函数$y=\frac{1}{1+e^{-z}}$y=1+e−z1​ 将离散的因变量进行变换，转化为概率形式 ，保证输出是连续值，其中Logistic函数中的 $z$z 表示原来的因变量。

原来的因变量（分类变量）取值 $y$y 是离散的值，不满足回归的基本条件假设（回归假设要求输入输出变量是连续值），因此要想使用回归模型，需要对离散变量进行变换，将离散值变为连续值。变换过程中，要求自变量 $X$X 可以任意取值，因变量 $y$y 限制在[0,1]范围内并且没有断点（连续）。经过研究找到了$Logit$Logit 变换，可以满足上述要求，从而满足了回归的基本条件假设。因此，通过Logistic函数变换将离散的因变量（分类变量）取值 $y$y 变为连续区间[0,1]内的概率取值。

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3. 参数估计

3.1 回顾：最大似然估计（MLE）

最大似然估计解决的是“模型已定，参数未知”的问题。即用已知样本的结果，去反推既定模型中的参数最可能的取值。

最大似然估计，“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而，若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。就是在某一事件已经发生的情况下，去构造一个概率模型（似然函数，含 $n$n 个样本值 $x_1,x_2...$x1​,x2​... 以及分布参数 $\theta$θ）表征这事件发生的可能性，然后通过样本值去求解分布参数如何取值时，才能使得似然函数最大（事件发生的可能性最大），根据这一点去求解分布参数。那么，此时求出的参数是符合使得事件发生概率最大的参数。

最大似然估计的步骤：

3.2 最大似然估计法估计参数值

3.3 迭代法：梯度与梯度法

3.3.1 梯度上升（下降）法

$\alpha$α ：每次变化的步长，也称学习率（ Learning rate）。
循环终止条件经常设置两种，设置阈值和循环次数。保证到达最优，并且在某一局部震荡时停止训练。

3.3.2 常见的梯度上升（下降）法

相应地，有梯度下降算法。

随机梯度上升（下降）算法每次只用一个样本，小批量梯度上升（下降）算法每次使用一个小批次样本。

3.3.3 梯度算法流程

3.4 迭代法：牛顿迭代法

牛顿法是通过不断求切线迭代求解函数方程根的办法。

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4. 逻辑回归案例：鸢尾花数据集

4.1 逻辑回归的基本假设

4.2 二分类逻辑回归

由数据集，建立一个可以识别山鸢尾（0）和杂色鸢尾（1）的模型。接下来转换为逻辑回归问题：

由数据集可知由四个自变量（萼长、萼宽、瓣长、瓣宽），再加一个偏差项，所以有五个参数 $\beta_0,\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4$β0​,β1​,β2​,β3​,β4​。$y$y 表示类别（该实例中只有两类，因此取值为0或1）。初始化权重（参数）为1,1,1,1,1；学习率 $\alpha = 0.01$α=0.01，最大循环次数MaxLoops =10000，当前循环次数currLoop = 1。接下来进行第一次循环：

计算梯度，并更新参数 $\beta^{(1)}$β(1)：

进行第二次循环

再次计算梯度，并更新参数$\beta^{(2)}$β(2)：

重复以上步骤最大循环次数次，然后退出循环。最终循环终止时的参数为：

使用训练好的参数做预测，例如：

4.3 多分类逻辑回归

4.3.1 构建多个二分类逻辑回归模型

4.3.2 softmax作为损失函数

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5. 模型的评估、诊断与调优

5.1 回归系数的假设方案

5.2 回归系数的假设检验

5.3 拟合优度

5.4 常见的分类模型评估方法

在分类问题的论文中，常用混淆矩阵、准确率、查准率、查全率、F-Score进行评估。

5.5 自变量筛选

5.6 其他常见问题

总结

课程纲要

1. 逻辑回归模型的原理
   逻辑回归实际上是线性回归模型的延展，属于广义线性回归模型（GLM），逻辑回归预测的因变量不再是连续的值，而是离散的值（0或1）。逻辑回归，将离散的因变量（二分类0或1）转化成了连续的概率分布，变换之后因变量的输入是任意值，此时满足了线性回归的假设，可以应用线性回归的相关知识。为了计算方便，选用了Logistic函数，求导之后是原函数的函数，大大简化的运算过程。

2. 逻辑回归模型参数估计
   因为预测的因变量取值是一个二分类的值，不满足正态分布，只满足二项分布。此时，不能使用最小二乘法进行估计，只能使用最大似然估计法进行估计（MLE）。构造似然函数，然后求参数的值。

• 梯度上升（梯度下降）：使用全部样本计算梯度，计算的参数准确但是计算的比较慢
• 随机梯度下降：一次取一个样本计算梯度，计算的速度快，但是计算的参数误差比较大
• 小批量梯度下降：一种折中的方法，随机取一个小批次计算梯度，更新参数。常用！

3. 逻辑回归模型的评估
   常见的评估方法：准确率、查准率、查全率、ROC曲线、混淆矩阵、F-Score等。

4. 逻辑回归模型的优化
   建模时，一定要有模型评估与优化的概念。通过一些手段，使模型符合回归的基本假设。

学习目标

思考与练习

课程链接：https://edu.aliyun.com/roadmap/ai?spm=5176.13944111.1409070.1.61cc28fcAV0KvR