经典控制理论建立模型

1.分析系统

首先，在我们面对一个需要进行建模的系统时，需要观察思考如下几点：
· 系统的输入输出。
· 系统的物理，化学，电力等方面的规律。

2.建立模型

在分析了系统之后，我们接下来进行建模。所谓建模，就是将输入输出运用微分方程建立一个函数，这里要注意运用物理和电路等方面的定律，一般都与导数或积分有关，比如物理学中速度与位移的关系，电路中电流与电容、电压的关系。最后消去中间变量，最后得出整个系统输入与输出关系的微分方程式。以下参考知乎，为什么选择微分方程建模。
*控制论是一门喜欢简明与精确的学科，虽然在大多数问题中简明与精确取其一就十分难得了。它研究的对象是具有自调节能力的系统。这些系统往往有着明确的运作规律与调节机制。自然界与人类社会中有许多的现象虽然有一定的规律，但这些规律只能以一种动态的方式描述，就像上述的捕食模型一样，我们仅仅知道系统在每个状态有着什么样的演变趋势。这个时候我们最关键的数学工具就是微分方程，微分方程是对函数与其导数间关系的一种描述，也就是说它能够刻画系统的每一个动态过程，因此恰好能够解决对系统的描述只有动态规律的控制论问题。 *
举个简单的例子，对以下系统建模：
写出输入电压 u r u_r ur​与输出电压 u c u_c uc​之间的微分方程式。

根据基尔霍夫定律，可写出以下方程组：
i R + L d i d t + u c = u r iR+L\frac{d_i}{d_t}+u_c=u_r iR+Ldt​di​​+uc​=ur​
u c = 1 C ∫ i d t u_c=\frac{1}{C}\int i dt uc​=C1​∫idt
现在我们已经建立了关于输入 u c u_c uc​和输出 u r u_r ur​之间的函数关系，但其中有电流i这个未知变量，我们将其整理消除。整理后得出：
L C d 2 u c ( t ) d t 2 + R C d u c ( t ) d t + u c ( t ) = u r ( t ) LC\frac{d^2u_c(t)}{dt^2}+RC\frac{du_c(t)}{dt}+u_c(t)=u_r(t) LCdt2d2uc​(t)​+RCdtduc​(t)​+uc​(t)=ur​(t)
这就是最后得出的电路数学模型，这是一种简单的一阶微方程。

3.求出传递函数

微分方程只是描述系统运动的一种基本的数学模型，通过对它的求解，可以得到在给定输入信号下的输出响应。但微分方程的求解有难度，计算量大，也不便分析系统的性能指标，所以引用传递函数。正常简单的一个输入输出模型如下所示：

图中三个函数分别为 f ( t ) f(t) f(t), h ( t ) h(t) h(t), y ( t ) y(t) y(t),分别为输入信号，控制信号，输出信号，可以看出是三个时域信号。其中： y ( t ) = f ( t ) ∗ h ( t ) y(t)=f(t)*h(t) y(t)=f(t)∗h(t), *为卷积符号，因为计算卷积十分麻烦，我们引用拉普拉斯变换，将时域信号转换到复数域信号（这里也用傅里叶转到频域，但拉普拉斯对信号的要求更广泛），转到复数域后原来的卷积变为乘法。
y ( s ) = f ( s ) ⋅ h ( s ) y(s)=f(s)·h(s) y(s)=f(s)⋅h(s)
当输入为单位脉冲时，系统为单位脉冲响应，脉冲响应函数 h ( t ) h(t) h(t)也是传递函数的反拉普拉斯变换，之前说的是用传递函数的好处，这里是为什么能用递函数。此处涉及信号与系统，参考一下知乎单位脉冲响应。根据传递函数的不同，可以将其分为一下6类：
h ( s ) = y ( s ) f ( s ) = k − − − − − 比 例 环 节 h(s)=\frac{y(s)}{f(s)}=k- - - - - 比例环节 h(s)=f(s)y(s)​=k−−−−−比例环节
h ( s ) = y ( s ) f ( s ) = k s − − − − − 积 分 环 节 h(s)=\frac{y(s)}{f(s)}=\frac{k}{s}- - - - -积分环节 h(s)=f(s)y(s)​=sk​−−−−−积分环节
h ( s ) = y ( s ) f ( s ) = k T s + 1 − − − − − 惯 性 环 节 h(s)=\frac{y(s)}{f(s)}=\frac{k}{Ts+1}- - - - -惯性环节 h(s)=f(s)y(s)​=Ts+1k​−−−−−惯性环节
h ( s ) = y ( s ) f ( s ) = T s T s + 1 − − − − − 微 分 环 节 h(s)=\frac{y(s)}{f(s)}=\frac{Ts}{Ts+1}- - - - - 微分环节 h(s)=f(s)y(s)​=Ts+1Ts​−−−−−微分环节
h ( s ) = y ( s ) f ( s ) = k T 2 s 2 + 2 ε T s + 1 − − − − − 震 荡 环 节 h(s)=\frac{y(s)}{f(s)}=\frac{k}{T^{2}s^{2}+2{\varepsilon}Ts+1}- - - - -震荡环节 h(s)=f(s)y(s)​=T2s2+2εTs+1k​−−−−−震荡环节
h ( s ) = y ( s ) f ( s ) = e − τ s − − − − − 纯 滞 后 环 节 h(s)=\frac{y(s)}{f(s)}=e^{-{\tau}s}- - - - - 纯滞后环节 h(s)=f(s)y(s)​=e−τs−−−−−纯滞后环节
例如对上一章已经建立好的数学模型求传递函数， L C d 2 u c ( t ) d t 2 + R C d u c ( t ) d t + u c ( t ) = u r ( t ) LC\frac{d^2u_c(t)}{dt^2}+RC\frac{du_c(t)}{dt}+u_c(t)=u_r(t) LCdt2d2uc​(t)​+RCdtduc​(t)​+uc​(t)=ur​(t)可以看出，输入电压 u r u_r ur​与输出电压 u c u_c uc​都是与时间相关的函数，用拉普拉斯变换将其转到复数域,微分算子 d d t \frac{d}{dt} dtd​用复变量s表示：
L C s 2 u c ( s ) + R C s u c ( s ) + u c ( s ) = u r ( s ) LCs^2u_c(s)+RCsu_c(s)+u_c(s)=u_r(s) LCs2uc​(s)+RCsuc​(s)+uc​(s)=ur​(s),传递函数G(s)等于输出比输入: G ( s ) = u c ( s ) u r ( s ) = 1 L C s 2 + R C s + 1 G(s)=\frac{u_c(s)}{u_r(s)}=\frac{1}{LCs^2+RCs+1} G(s)=ur​(s)uc​(s)​=LCs2+RCs+11​

计算传递函数或时间函数时，可参考拉氏变换对照表。算出传递函数后，一般我们还需要画出系统的信号流图，因为一个系统不可能只由一个传递函数组成，一个完整的系统是由多个传递函数和信号运算组成，在信号流图可清晰看出开环或是闭环，还可以计算出总的输出。

总结

以上就是自控原理的建模，建立模型后要对系统进行分析，来判断是否符合实际要求。