仿射变换

1.齐次坐标

在矩阵中我们定义向量为（x,y,z）
这个定义方便了我们进行旋转和缩放操作
但是现在问题是：当我们需要进行平移怎么办？

在通常的理解里，向量的平移是没有意义的，因为平移后的向量和原来的向量是相等的。因此为了实现从世界坐标中的一个位置将图形位移到另一个位置，或者局部坐标向世界坐标的变换，我们的做法是对局部坐标的原点进行平移。也就是__对点进行平移__。

为了能够区分向量和点
我们在（x,y,z）的基础上添加了第四个分量w,即（x,y,z,w）
其中：
（x,y,z,0）表示向量
（x,y,z,1）表示坐标
这种表示方式就称之为齐次坐标

2.仿射变换矩阵

因为现在向量和坐标都是四维的，因此理所当然我们的变换矩阵也会变成4*4的矩阵

2.1简单分析

2.1.1第四列

为什么第四列为0 0 0 1？
对第四列左右进行运算就知道，x0+y0+z0+11 = 1
这样得到的结果第四个分量永远都等于原来的第四个分量
比如原来的坐标为[x,y,z,0]，那么得到的结果就是[x’,y’,z’,0]

2.1.2第四行

现在我们观察一下第四行，[bx,by,bz,1]，这又代表什么呢？
我们分两种情况讨论：

1. 向量：向量的第四个坐标是0，那么和[bx,by,bz,1]相乘都是0，也就是对x,y,z坐标不产生影响。
2. 点：点的第四个坐标是1，那么和[bx,by,bz,1]相乘的结果是[bx,by,bz,1]，那么这个结果会和原本对X，Y，Z的运算结果进行分量相加。也就是说对x,y,z坐标进行移动。这就达到了对点进行平移，而对向量不产生影响的效果了。

2.2平移矩阵

如果没有旋转和缩放

那么这个矩阵就称之为平移矩阵

很容易想到：如果不想要平移，只要将bx,by,bz设为0即可

3.从局部坐标向世界坐标的变换

假设我们现在在局部坐标轴上面建立了自己的图形，那么我们如何将其变换到世界坐标系呢？
有了上面仿射变换的理解，接下去的操作就简单很多了。我们通过龙书上面的一道例题来进行理解：

假设一个正方形的顶点局部坐标在(−0.5,0,−0.5)和(0.5,0,0.5)之间，将它的边长变为 2， 顺时针旋转 45°，并放置在世界空间的（10,0,10）坐标上，那如何求它在世界空间中的坐标 呢？

我们需要构建 S，R，T 矩阵，世界矩阵 W 如下所示：

上面的W = SRT称为组合变换，通过矩阵乘法将旋转、平移、缩放整合成一个组合变换矩阵，这样就可以避免多次变换，提高性能。

我们对这种变换有两种理解：
1.在局部坐标轴上进行旋转缩放，并且将局部坐标轴的原点移动到世界坐标轴的某个位置（如本题中的10,0,10）
2.先将局部坐标轴×单位世界矩阵，这相当于变换前的局部坐标原点位于世界坐标原点，然后对改图形的世界坐标进行旋转、缩放和平移。