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我们这里的讲解都是在2D平面上面的

Intersection ofparallel lines.

对于齐次坐标下的平行直线来说, 也可以求得其交点.

$\mathbf{l} = (a,b,c)^T$l=(a,b,c)T $\mathbf{l^{'}}=(a,b,c^{'})^T$l′=(a,b,c′)T

按照前面的交点计算方法可得.$\mathbf{x}=(b,-a, 0)^T$x=(b,−a,0)T.
这是一个点的齐次表示方法.
如果编程$\mathbb{R}^2$R2中的点.可做除法$(b/0, -a/0)^T$(b/0,−a/0)T,
这就是无穷远点的由来. 当然$\mathbb{R}^2$R2是没有这个点的.
这个点是一个虚拟的点.

Ideal points and the line at infinity.

• 我们把所有的$(a,b,0)^{T}$(a,b,0)T叫做理想点.

• 无穷远出的直线表示位$\mathbf{l}_{\infty}=(0,0,1)^T$l∞​=(0,0,1)T,

  • 所有无穷远点都在直线$\mathbf{l}_{\infty}$l∞​上
    $\mathbf{l}_{\infty}^T(a,b,0)^T=0$l∞T​(a,b,0)T=0

  • 所有直线和$\mathbf{l}_{\infty}$l∞​相交于,无穷远点上.
    相互平行的直线,相交$\mathbf{l}_{\infty}$l∞​于同一点.

在projective space里面是不会区分无穷远点和无穷远直线的,
我们把他们和一般点和一般直线一视同仁.

A model for the projective plane

这一小节,是最有直观意义的一小节. 如何在3D空间中来可视化, Projective
space $\mathbb{P}^2$P2.

1. 可以把3D空间中从原点发出的射线看做$\mathbb{P}^2$P2中的一个点.
   这是一个等价类.

2. 可以把3D空间中经过原点的平面看做$\mathbb{P}^2$P2中的直线.
   它是一个等价类.

   • 两条射线决定一个平面.

   • 两个平面相交于一条射线.

3. 实际的2D空间的直线和点的值,可以在3D空间中用平面$x_3=1$x3​=1同射线和平面相交可得.详情如图.

4. 其中$\mathbf{l}_{\infty}$l∞​就是平行于$x_3=1$x3​=1的过原点的平面.

5. 另外无穷远点也就是$\mathbf{l}_{\infty}$l∞​上的射线.
   他们自然也都平行于$x_3=1$x3​=1

Duality

再其次坐标中, 我们可以很明显的看到点和线之间的是可以交换的. 也就是说,
交换变量的定义, 理论任然成立.