Capon filter的推导

最近在看的论文总是绕不过这个概念

但是公式（2）到底是怎样来的呢？

1.不得不提的波束形成
这里引用一篇硕士论文。
[1]喻敏. 声矢量传感器的Capon方位估计[D].哈尔滨工程大学,2004.





那么看到这里，相信公式2-18前都是相当容易理解的，那么公式2-18是如何推导到2-19这一步的呢？

可以看到现在的问题是解决
minω ωHR^ωs.tωHa(θd)=1${\text{min}}_{\omega }{\omega }^H\hat{R}\omega \text{s.t}{\omega }^{H}a({\theta }_d)=1$

有无数个文章提到这个最优的ω$\omega$可以用拉格朗日乘子法解决。那么问题来了，什么是拉格朗日乘子法，这里推荐看博客

https://blog.****.net/u014792304/article/details/78396955
看不懂回来打我，如果你想更加深入地了解拉格朗日乘子法，推荐看
张贤达. 矩阵分析与应用.第2版[M]. 清华大学出版社, 2013.256页

那么假设你已经看完了。
现在我们的问题是一个有约束的问题，通过拉格朗日乘子法转化成无约束的问题，即：变成L(ω,μ)=minω ωHR^ω−μ(ωHa(θd)−1)$L(\omega ,\mu )={\text{min}}_{\omega }{\omega }^H\hat{R}\omega -\mu ({\omega }^{H}a({\theta }_d)-1)$

怎么求最小值？最小值就是极值，极值怎么求，就是求导，然后导数等于0的点就是最小值。

现在有两个变量ω$\omega$和μ$\mu$，所以需要分别ω$\omega$和μ$\mu$求偏导，另两个导数分别等于零。

▽Lω(ω,μ)=R^ω−μa(θd)=0$▽L_{\omega }(\omega ,\mu )=\hat{R}\omega -\mu a({\theta }_d)=0$
▽Lμ(ω,μ)=ωHa(θd)−1=0$▽L_{\mu }(\omega ,\mu )={\omega }^{H}a({\theta }_d)-1=0$
解第一个式子，就能得到ω=μR−1a(θd)$\omega =\mu R^{-1}a({\theta }_d)$
这样就可以得到公式（2-19a)的结果了。相应地，可以解出μ$\mu$的值，即最优解ω$\omega$也就可以得到了，把ω$\omega$换成h就是最上面图片里的形式了。