这里只是记录一下，非常推荐马同学高等数学,文末有原文.点击这里看里面的例一应该是理解贝叶斯公式最好的例子
,如果你稍微有一些基础，我觉得文末第二个链接中的例一更加适合你

代数推导

1. 贝叶斯公式

是根据条件概率推导的
$P (A | B) = \frac{P (A B)}{P (B)} P (B | A) = \frac{P (A B)}{P (A)}$
所以推导可以得到Bayes公式：

P (A | B) = \frac{P (B | A) P (A)}{P (B)}

通常会把P(B)看成归一化系数

η

;

P (A | B) = \frac{P (B | A) P (A)}{P (B)} = η P (B | A) P (A) η = P (B)^{- 1} = \frac{1}{\sum_{A} P (B | A) P (A)}

这里有什么过程不懂可以看文末的知识补充

A一般是某种状态，B一般是某种观测值
$1. P (A) 先验概率$ （Prior probability）
$2. P (A | B) 后验概率$ （Posterior/causal probability)
$3. \frac{P (B | A)}{P (B)} 可能性函数（ L i k e l y h o o d ）$

2. 递归贝叶斯

先简单推导一下三次变量:

P (x | y, z) = \frac{P (y | x, z) P (x | z)}{P (y | z)} = \frac{P (z | x, y) P (x | y)}{P (z | y)}

这里y,z是可以互换的
如果y,z符合Markov属性，那么还可以推导如下：

P (x | y, z) = \frac{P (y | x) P (x | z)}{P (y | z)} = \frac{P (y | x) P (x | z)}{P (y | o p e n) P (o p e n | z) + P (y | \bar{o p e n}) P (\bar{o p e n} | z)}

P (x | z_{1} \dots z_{n})

？
把Z1，…..，Zn看成一个整体,再根据马尔科夫条件，在x已经知道的情况下，Zn同{Z1,…,Zn-1}无关，所以

P (x | z_{1} \dots z_{n}) = \frac{P (z_{n} | x, z_{1}, \dots, z_{n - 1}) P (x | z_{1}, \dots, z_{n - 1})}{P (z_{n} | z_{1}, \dots, z_{n - 1})} = \frac{P (z_{n} | x) P (x | z_{1}, \dots, z_{n - 1})}{P (z_{n} | z_{1}, \dots, z_{n - 1})}

所以可以得到递归贝叶斯公式

P (x | z_{1} \dots z_{n}) = \frac{P (z_{n} | x) P (x | z_{1}, \dots, z_{n - 1})}{P (z_{n} | z_{1}, \dots, z_{n - 1})} = η_{n} P (z_{n} | x) P (x | z_{1}, \dots, z_{n - 1}) = η_{n} P (z_{n} | x) η_{n - 1} P (z_{n - 1} | x) P (x | z_{1}, \dots, z_{n - 2}) = η_{1} \dots η_{n} \prod_{i = 1 \dots n} P (z_{i} | x) P (x)

3. 贝叶斯滤波

贝叶斯相关公式（Bayes）

直观理解

贝叶斯相关公式（Bayes）

知识补充

贝叶斯相关公式（Bayes）

连续情况下：
$P (x | μ) = \int P (x | μ, x^{'}) P (x^{'}) d x^{'}$
连续情况下:
$P (x | μ) = \sum P (x | μ, x^{'}) P (x^{'})$

参考

https://www.matongxue.com/madocs/301/
https://www.cnblogs.com/ycwang16/p/5995702.html
https://blog.****.net/qq_30159351/article/details/53395515

贝叶斯相关公式（Bayes）

代数推导

1. 贝叶斯公式

2. 递归贝叶斯

3. 贝叶斯滤波

直观理解

知识补充

参考

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