[译]OpenGL投影矩阵

这是关于OpenGL投影矩阵的一篇译文,原文在这里.

概览(Overview)

电脑显示屏是一个2D平面,为了能够在这个2D平面上显示OpenGL渲染的3D场景,我们必须将3D场景当作2D图像投影到这个2D平面(计算机屏幕)上.GL_PROJECTION 矩阵就是用来做这种投影变换的.首先,该矩阵将所有观察空间的顶点坐标变换到裁剪空间,接着,将变换后的顶点坐标(即裁剪坐标)的每个分量$(x,y,z,w)$(x,y,z,w)除以坐标的 $w$w 分量,使其变换为标准化设备坐标(NDC).

这里我们需要注意的一点就是 : GL_PROJECTION 矩阵同时整合了裁剪(视锥体剔除)和标准化设备坐标(NDC)变换的功能(译注:这里不是指 GL_PROJECTION 矩阵本身整合了这些功能,而是指 OpenGL 的 GL_PROJECTION 矩阵模式整合了这些功能).接下来的内容就是描述如何从6个边界参数(left, right, bottom, top, near 和 far) 构造出这个投影矩阵.

值得一提的是,视锥体剔除是在裁剪空间进行的(NDC变换之前) : 裁剪坐标中的 $x_c$xc​, $y_c$yc​ 和 $z_c$zc​ 分量会分别与 $w_c$wc​ 分量进行比较,如果其中任一分量小于 $-w_c$−wc​,或者大于 $w_c$wc​,则该坐标对应的顶点就会被丢弃(即发生了裁剪).

接着, 如果发生了裁剪, OpenGL 会重新构建发生裁剪的多边形边缘.

透视投影

在透视投影中,视锥体(观察空间)中的一个3D坐标点会被映射到一个立方体中(NDC);其中 $x$x 坐标范围会从 $[l, r]$[l,r] 映射到 $[-1, 1]$[−1,1], $y$y 坐标范围会从 $[b, t]$[b,t] 映射到 $[-1, 1]$[−1,1], $z$z 坐标范围会从 $[-n, -f]$[−n,−f] 映射到 $[-1, 1]$[−1,1].

这里需要注意的是,观察空间是在右手坐标系下(OpenGL 使用右手坐标系)定义的,但是 NDC 却是在左手坐标系下定义的.换句话说就是,观察空间中的摄像机是指向 -Z 轴的,但是在 NDC 中,摄像机指向的却是 +Z 轴(译注:NDC变换会改变左右手坐标系).由于 glFrustum() 函数只接受正的近/远裁剪面距离,所以我们需要在构造 GL_PROJECTION 矩阵的过程中将近/远裁剪面距离变成负数(译注:因为在观察空间中,摄像机是指向 -Z 轴的).

在 OpenGL 中,观察空间中3D坐标点是投影到近裁剪面(即投影面)上的.下面的示意图展示了一个在观察空间中的坐标点 $(x_e, y_e, z_e)$(xe​,ye​,ze​),是如何投影到近裁剪面坐标点 $(x_p, y_p, z_p)$(xp​,yp​,zp​) 上的.

从视锥体的顶部视图可以看到, $x_e$xe​(观察空间中的 $x$x 坐标)的投影坐标 $x_p$xp​ 可以使用相似三角形对应边长成比例来求解:

从视锥体的侧面视图来看,$y_p$yp​ 也可以使用类似的方式求解:

注意到 $x_p$xp​ 和 $y_p$yp​ 的数值都是依赖于 $z_e$ze​ 的,并且两者的数值大小都反比与 $-z_e$−ze​(这两个数值的求解都除以了 $-z_e$−ze​).这是我们构建 GL_PROJECTION 矩阵的第一条线索.在观察空间中的坐标经过 GL_PROJECTION 矩阵变换之后,得到的裁剪坐标还是一个齐次坐标,需要将坐标的各个分量除以坐标的 $w$w 分量才能将其变换为标准化设备坐标(NDC).(更多细节可以看这里)

所以,我们可以将裁减坐标的 $w$w 分量设置为 $-z_e$−ze​,基于此,GL_PROJECTION 矩阵的第四行便可以确定了,应为 $(0, 0, -1, 0)$(0,0,−1,0).

接下来,我们要将 $x_p$xp​ 和 $y_p$yp​ 线性映射到 NDC 下的 $x_n$xn​ 和 $y_n$yn​, 即 $[l, r]$[l,r] ⇒ $[-1, 1]$[−1,1] , $[b, t]$[b,t] ⇒ $[-1, 1]$[−1,1].

然后,我们将 $x_p$xp​ 和 $y_p$yp​ 的表达式代入上面的等式.

由于要进行透视除法的关系$(x_c/w_c, y_c/w_c)$(xc​/wc​,yc​/wc​),我们将等式都调整成了除以 $-z_e$−ze​ 的形式.我们先前已经设置了 wc 为 $-z_e$−ze​,所以等式括号里项即是裁剪坐标 $x_c$xc​ 和 $y_c$yc​.

通过这些等式,我们就可以确定 GL_PROJECTION 矩阵的第一行和第二行了:

现在,我们只需要求解出 GL_PROJECTION 矩阵的第三行便可以了,不过计算 $z_n$zn​ 和之前计算的 $x_n$xn​ 和 $y_n$yn​ 有些不同,因为观察空间中的 $z_e$ze​ 总是会被投影到近裁剪面上(数值为$-n$−n),而我们需要的是唯一的 $z$z 值以进行裁剪和深度检测,另外的,我们也应该能够"反投影"(unproject,投影的逆变换)$z_n$zn​.由于我们知道 $z$z 坐标并不依赖与 $x$x 坐标和 $y$y 坐标,所以我们可以借助 $w$w 分量来求解 $z_n$zn​ 和 $z_e$ze​ 的关系,计算方法如下:

观察空间中, $w_e$we​ 等于 $1$1,所以上面的等式可以化简为:

为了计算 $A$A 和 $B$B 这两个参数,我们可以利用 $(z_e, z_n)$(ze​,zn​) 的两个条件关系:$(-n, -1)$(−n,−1) 和 $(-f, 1)$(−f,1)(译注:即 $z_e = -n$ze​=−n 时, $z_n = -1$zn​=−1; $z_e = -f$ze​=−f 时, $z_n = 1$zn​=1),代入上面的等式,我们有:

通过上面的计算,我们得到了系数 $A$A 和 $B$B 的表达式,于是 $z_e$ze​ 与 $z_n$zn​ 的关系式变为:

最终,我们得到了完整的 GL_PROJECTION 矩阵:

上面的投影矩阵对应于一般的视锥体投影,如果视锥体是上下左右对称的话(即 $r = -l, t = -b$r=−l,t=−b),则上面的投影矩阵可以做如下简化:

在我们继续讲解之前,我们再来观察一下 $z_e$ze​ 和 $z_n$zn​ 的关系,也就是上面的等式$(3)$(3).注意到该等式是个非线性的有理函数,当 $z_e$ze​ 靠近近裁剪面的时候,对应 $z_n$zn​ 的精度会比较高,当 $z_e$ze​ 靠近远裁剪面的时候,对应 $z_n$zn​ 的精度则比较低.于是,当$[-n, -f]$[−n,−f]的范围变大的时候,就会发生深度缓冲的精度问题(z-fighting),因为此时靠近远裁剪面的 $z_e$ze​ 的微小变化并不会影响 $z_n$zn​ 的数值(译注:数学角度讲,$z_e$ze​ 的任何变化其实都会影响到 $z_n$zn​ 的数值,这里说不会影响 $z_n$zn​ 的数值是从计算机中数值精度表示有限的角度来讲的),所以我们应该尽量缩短 $n$n 和 $f$f 之间的距离,以最小化上述的深度缓冲精度问题.

正交投影

为正交投影构建一个 GL_PROJECTION 矩阵比上面说的透视投影要简单多了.

所有观察空间的 $x_e$xe​, $y_e$ye​ 和 $z_e$ze​ 分量都被线性的映射到 NDC 中,我们要做的就是将长方体(观察空间)缩放成一个立方体(NDC),然后将其移动到原点位置.我们马上来算一下 GL_PROJECTION 矩阵的各个元素:

由于在正交投影中,我们不需要 $w$w 分量的参与,所以 GL_PROJECTION 矩阵的第四行设置为了 $(0, 0, 0, 1)$(0,0,0,1).最终的 GL_PROJECTION 矩阵表示如下:

同透视投影一样,如果视锥体是上下左右对称的话(即 $r = -l, t = -b$r=−l,t=−b),上面的 GL_PROJECTION 矩阵可以简化为: