例题八

例8.6

（1）设总体$X$X服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$N(μ,σ2)，其中$\mu$μ已知，$\sigma^2$σ2未知。$X_1,X_2,\cdots,X_n$X1​,X2​,⋯,Xn​是取自总体$X$X的简单随机样本，则下列样本函数中不是统计量的是（  ）
$(A)\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i;$(A)n1​i=1∑n​Xi​;
$(B)\max\limits_{1\leqslant i\leqslant n}\{X_i\};$(B)1⩽i⩽nmax​{Xi​};
$(C)\sum\limits_{i=1}^n\left(\cfrac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2;$(C)i=1∑n​(σXi​−μ​)2;
$(D)\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu)^2.$(D)n1​i=1∑n​(Xi​−μ)2.

解  由统计量的定义“不含任何未知参数的样本函数”，即知不是统计量的选项应该是$(C)$(C)，因为$(C)$(C)中包含有未知参数$\sigma$σ，故选择$(C)$(C)。

（2）已知总体$X$X的期望$E(X)=0$E(X)=0，方差$D(X)=\sigma^2$D(X)=σ2，从总体$X$X中抽取容量为$n$n的简单样本，其均值、方差分别为$\overline{X},S^2$X,S2。记$S_k^2=\cfrac{n}{k}\overline{X}^2+\cfrac{1}{k}S^2(k=1,2,3,4)$Sk2​=kn​X2+k1​S2(k=1,2,3,4)，则（  ）
$(A)E(S^2_1)=\sigma^2;$(A)E(S12​)=σ2;
$(B)E(S^2_2)=\sigma^2;$(B)E(S22​)=σ2;
$(C)E(S^2_3)=\sigma^2;$(C)E(S32​)=σ2;
$(D)E(S^2_4)=\sigma^2.$(D)E(S42​)=σ2.

解  应用$E(\overline{X})=E(X)=0,D(\overline{X})=\cfrac{\sigma^2}{n}$E(X)=E(X)=0,D(X)=nσ2​，通过计算$E(S^2_k)$E(Sk2​)来确定正确选项。由于$E(\overline{X}^2)=D(\overline{X})+(E(\overline{X}))^2=D(\overline{X})=\cfrac{\sigma^2}{n},E(S^2)=\sigma^2$E(X2)=D(X)+(E(X))2=D(X)=nσ2​,E(S2)=σ2，故
$E(S^2_k)=\cfrac{n}{k}E(\overline{X}^2)+\cfrac{1}{k}E(S^2)=\cfrac{n}{k}\cdot\cfrac{\sigma^2}{n}+\cfrac{1}{k}\sigma^2=\cfrac{2}{k}\sigma^2.$E(Sk2​)=kn​E(X2)+k1​E(S2)=kn​⋅nσ2​+k1​σ2=k2​σ2.
  当$k=2$k=2时，$E(S^2_2)=\sigma^2$E(S22​)=σ2，选择$(B)$(B)。（这道题主要利用了样本数理统计求解）

习题八

8.12  设随机变量$X\sim F(n,n)$X∼F(n,n)，证明：$P\{X<1\}=0.5$P{X<1}=0.5。

证  若随机变量$X\sim F(n,n)$X∼F(n,n)，则$Y=\cfrac{1}{X}$Y=X1​也服从$F(n,n)$F(n,n)，从而
$P\{X<1\}=P\{Y<1\}=P\left\{\cfrac{1}{X}<1\right\}=P\{X>1\}.$P{X<1}=P{Y<1}=P{X1​<1}=P{X>1}.
  而
$P\{X<1\}+P\{X>1\}=1.$P{X<1}+P{X>1}=1.
  这就证明了$P\{X<1\}=0.5$P{X<1}=0.5。（这道题主要利用了概率对称性求解）

新版例题八

例8.2

新版习题八

8.3

8.4

8.5

8.12

8.16

写在最后

  如果觉得文章不错就点个赞吧。另外，如果有不同的观点，欢迎留言或私信。
   欢迎非商业转载，转载请注明出处。