hash tables

如图所示，使用一个hash function将原来的key映射到hash表中。碰撞发生在不同的key映射到了同一个位置。

hash function

division method

h(k)=kmodm

multiplication method

Universal hashing

选择一组hash函数，这个组合称为 universal 如果对于每个hash函数来说，它碰撞的概率小于 |h|/m也就是说，整体的碰撞的概率小于1/m，m是hash后的空间集合的元素个数。

In universal hashing, at the beginning of execution we select the hash function at random from a carefully designed class of functions.
在universal hashing中，从一组精神设计的hash function中选择。

Theorem
假设从一组hash函数的universal collection随机挑选了一个hash函数h，并且hash n keys into a table T of size m。如果k不在table中，那么 E[nh(k)]最大是 α=n/m，如果k在table中，那么是 1+α。

这个结果是不依赖于hash函数的选择的，也就是说，当碰撞的时候采取chaining的方法，那么当hash一个k到表中时，当它不在表中，它在的slot的 长度的平均值 是 n／m，如果k在表中是 1 + n／m（就是1 + 不在的平均长度）

it has now become impossible for an adversary to pick a sequence of operations that forces the worst-case running time. By cleverly randomizing the choice of hash function at run time, we guarantee that we can process every sequence of operations with a good average-case running time.