数字图像处理--图像旋转变换的推导

前面我们提到了图像的缩放变换，可以用矩阵乘法的形式来表达变换后的像素位置映射关系。

那么，对于旋转变换呢？我们可以同样将其想象成二维平面上矢量的旋转。如下图所示，矢量 $[x_1,y_1]$ 逆时针旋转 $θ$ 度到了 $[x_2,y_2]$ 。

数字图像处理--图像旋转变换的推导
设定矢量的长度为s，根据坐标系定义，我们可以得到：
$\begin{aligned} x2=s• cos⁡β\\ y2=s• sin⁡β \end{aligned}$

根据上面的图形，有：
$β=α+θ$

因此:
$x2=s• cos⁡(α+θ) \\ y2=s• sin⁡(α+θ)$

根据初中所学的三角函数公式：
$sin⁡(α+θ)=sinα•cosθ+cosα•sinθ \\ cos⁡(α+θ)=cosα•cosθ-sinα•sinθ$

于是：
$x2=s•cosα•cosθ-s•sinα•sinθ\\ y2=s•sinα•cosθ+s•cosα•sinθ$

由于：
$x1=s• cos⁡α\\ y1=s• sin⁡α$

因此：
$x2=x1•cosθ-y1•sinθ\\ y2=x1•sinθ+y1•cosθ$

于是，上式写成矩阵乘法的形式如下：
$\begin{aligned} { \left[ \begin{array}{ccc} x2\\ y2\\ \end{array} \right ]}={ \left[ \begin{array}{ccc} cosθ& -sinθ\\ sinθ & cosθ\\ \end{array} \right ]}{ \left[ \begin{array}{ccc} x1\\ y1\\ \end{array} \right ]} \end{aligned}$

我们来看看一个图像逆时针旋转180度的情况。

import cv2

import numpy as np
import math

lenna = cv2.imread("lenna256.png", 0)
row, col = lenna.shape

lenna_rotation = np.zeros_like(lenna)

A = np.mat([[math.cos(math.pi), -math.sin(math.pi)], [math.sin(math.pi), math.cos(math.pi)]])

for r in range(row):
    for l in range(col):
        v = np.dot(A.I, np.array([r, l]).T)

        lenna_rotation[r, l] = lenna[int(v[0, 0]), int(v[0, 1])]

cv2.imshow("lenna", lenna)
cv2.imshow("rotation", lenna_rotation)
cv2.waitKey()

数字图像处理--图像旋转变换的推导
上面的图像宽度和高度是一样的，而且旋转角度是180度，比较特殊。在一般情况下，我们需要注意的是2点：一是旋转图像一般要将旋转中心设置在图像的中心点位置；二是图像旋转后，可能越过了原来的图像边界范围。这些都比较麻烦，好在opencv已经做好了这一切。

lenna = cv2.imread("lenna256.png", 0)
row, col = lenna.shape
M = cv2.getRotationMatrix2D((col // 2, row // 2), 70, 0.5)
dst = cv2.warpAffine(lenna, M, (col, row))
cv2.imshow("rotation", dst)
cv2.waitKey()

数字图像处理--图像旋转变换的推导

转载自：https://blog.csdn.net/saltriver/article/details/79680189

数字图像处理--图像旋转变换的推导

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