一、概述

1.1 简介

朴素贝叶斯（Naive Bayesian）是基于贝叶斯定理和特征条件独立假设的分类方法，它通过特征计算分类的概率，选取概率大的情况进行分类，因此它是基于概率论的一种机器学习分类方法。因为分类的目标是确定的，所以也是属于监督学习。

Q1：什么是基于概率论的方法？

通过概率来衡量事件发生的可能性。概率论和统计学恰好是两个相反的概念，统计学是抽取部分样本进行统计来估算总体的情况，而概率论是通过总体情况来估计单个事件或者部分事情的发生情况。因此，概率论需要已知的数据去预测未知的事件。

例如，我们看到天气乌云密布，电闪雷鸣并阵阵狂风，在这样的天气特征(F)下，我们推断下雨的概率比不下雨的概率大，也就是p(下雨)>p(不下雨)p(下雨)>p(不下雨),所以认为待会儿会下雨。这个从经验上看对概率进行判断。

而气象局通过多年长期积累的数据，经过计算，今天下雨的概率p(下雨)=85%,p(不下雨)=15%p(下雨)=85%,p(不下雨)=15%,同样的，p(下雨）>p(不下雨)p(下雨）>p(不下雨)，因此今天的天气预报肯定预报下雨。这是通过一定的方法计算概率从而对下雨事件进行判断。

Q2:朴素贝叶斯，朴素在什么地方？

之所以叫朴素贝叶斯，因为它简单、易于操作，基于特征独立性假设，假设各个特征不会相互影响，这样就大大减小了计算概率的难度。

1.2 条件概率与贝叶斯定理

（1）概率论中几个基本概念

事件交和并：

A和B两个事件的交，指的是事件A和B同时出现，记为A∩B;

A和B两个事件的并，指的是事件A和事件B至少出现一次的情况，记为A∪B。

互补事件：

事件A的补集，也就是事件A不发生的时候的事件，记为$A^c$Ac。这个时候，要么A发生，要么$A^c$Ac发生，$P(A)+P(A^c)=1$P(A)+P(Ac)=1。

条件概率(conditional probability)：

某个事件发生时另外一个事件发生的概率，如事件B发生条件下事件A发生的概率：

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$P(A∣B)=P(B)P(A∩B)​

概率的乘法法则（multiplication rule of probability）：

$P(A\cap B)=P(A)P(A|B)orP(A\cap B)=P(B)P(A|B)$P(A∩B)=P(A)P(A∣B)orP(A∩B)=P(B)P(A∣B)

独立事件交的概率：

两个相互独立的事件，其交的概率为：

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$P(A∩B)=P(A)P(B)

（2）贝叶斯定理（Bayes’s Rule）：

如果有k个互斥且有穷个事件

$B_1,B_2,\dots,B_k$B1​,B2​,…,Bk​,并且，$P(B_1)+P(B_2)+\dots+P(B_k)=1$P(B1​)+P(B2​)+⋯+P(Bk​)=1和一个可以观测到的事件A，那么有：

$P(B_i|A)=\frac{P(B_i\cap A)}{P(A)}=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(B_i)P(A|B_i)+P(B_2)P(A|B_2)+\dots+P(B_k)P(A|B_k)}$P(Bi​∣A)=P(A)P(Bi​∩A)​=P(Bi​)P(A∣Bi​)+P(B2​)P(A∣B2​)+⋯+P(Bk​)P(A∣Bk​)P(Bi​)P(A∣Bi​)​

$p(A):事件A发生的概率$p(A):事件A发生的概率
$p(A\cap B):事件A和事件B同时发生的概率$p(A∩B):事件A和事件B同时发生的概率
$p(A|B):表示事件A在事件B发生的条件下发生的概率$p(A∣B):表示事件A在事件B发生的条件下发生的概率

1.3 朴素贝叶斯分类的原理

朴素贝叶斯基于条件概率、贝叶斯定理和独立性假设原则

(1)首先，我们来看条件概率原理：

基于概率论的方法告诉我们，当只有两种分类时：

如果$p1(x,y)>p2(x,y)$p1(x,y)>p2(x,y)，那么分入类别1
如果$p1(x,y)&lt;p2(x,y)$p1(x,y)<p2(x,y)，那么分入类别2

（2）其次，贝叶斯定理

同样的道理，引入贝叶斯定理，有：

$p(c_i|x,y)=\frac{p(x,y|c_i)p(c_i)}{p(x,y)}$p(ci​∣x,y)=p(x,y)p(x,y∣ci​)p(ci​)​

其中，$x,y$x,y表示特征变量，$c_i$ci​表示分类，$p(c_i|x,y)$p(ci​∣x,y)即表示在特征为$x,y$x,y的情况下分入类别$c_i$ci​的概率，因此，结合条件概率和贝叶斯定理，有：

• 如果$p(c_1|x,y)&gt;p(c_2|x,y)$p(c1​∣x,y)>p(c2​∣x,y)，那么分类应当属于$c_1$c1​；

• 如果$p(c_1|x,y)&lt;p(c_2|x,y)$p(c1​∣x,y)<p(c2​∣x,y)，那么分类应当属于$c_2$c2​；

• 贝叶斯定理最大的好处是可以用已知的三个概率去计算未知的概率，而如果仅仅是为了比较$p(c_i|x,y)和p(c_j|x,y)$p(ci​∣x,y)和p(cj​∣x,y)的大小，只需要已知两个概率即可，分母相同，比较$p(x,y|c_i)p(c_i)$p(x,y∣ci​)p(ci​)和$p(x,y|c_j)p(c_j)$p(x,y∣cj​)p(cj​)即可。

（3）特征条件独立假设原则

朴素贝叶斯最常见的分类应用是对文档进行分类，因此，最常见的特征条件是文档中，出现词汇的情况，通常将词汇出现的特征条件用词向量 $ω$ω表示，由多个数值组成，数值的个数和训练样本集中的词汇表个数相同。
因此，上述的贝叶斯条件概率公式可表示为：

$p(c_i|w)=\frac{p(\omega|c_i)p(c_i)}{p(\omega)}$p(ci​∣w)=p(ω)p(ω∣ci​)p(ci​)​

前面提到朴素贝叶斯还有一个假设，就是基于特征条件独立的假设，也就是我们姑且认为词汇表中各个单词独立出现，不会相互影响，因此,$p(\omega|c_i)$p(ω∣ci​)可以将$\omega$ω展开成独立事件概率相乘的形式，因此：

$p(\omega|c_i)=p(\omega_0|c_i)p(\omega_1|c_i)p(\omega_2|c_i)\dots p(\omega_N|c_i)$p(ω∣ci​)=p(ω0​∣ci​)p(ω1​∣ci​)p(ω2​∣ci​)…p(ωN​∣ci​)

1.4 朴素贝叶斯分类的流程和优缺点

（1）分类流程

1. 数据准备：收集数据，并将数据预处理为数值型或者布尔型，如对文本分类，需要将文本解析为词向量
2. 训练数据：根据训练样本集计算词项出现的概率，训练数据后得到各类下词汇出现概率的向量
3. 测试数据：用测试样本集去测试分类的准确性

（2） 优缺点

1. 监督学习，需要确定分类的目标
2. 对缺失数据不敏感，在数据较少的情况下依然可以使用该方法
3. 可以处理多个类别 的分类问题
4. 适用于标称型数据
5. 对输入数据的形势比较敏感
6. 由于用先验数据去预测分类，因此存在误差

二、Python算法实现

以在线社区的留言板评论为例，运用朴素贝叶斯分类方法，对文本进行自动分类。

构造一些实验样本，包括已经切分词条的文档集合，并且已经分类（带有侮辱性言论，和正常言论）。为了获取方便，先构造一个loadDataSet函数来生成实验样本。

def loadDataSet():
    postingList=[['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'],
                 ['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'],
                 ['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'],
                 ['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'],
                 ['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'],
                 ['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']]
    classVec=[0,1,0,1,0,1] #1表示侮辱性言论，0表示正常言论
    return postingList,classVec

2.1 根据文档词汇表构建词向量

(1)构建词汇表生成函数creatVocabList：

def createVocabList(dataSet):
    vocabSet=set([])
    for document in dataSet:
        vocabSet=vocabSet|set(document) #取两个集合的并集
    return list(vocabSet)

(2)对输入的词汇表构建词向量：

#词集模型
def setOfWords2Vec(vocabList,inputSet):
    returnVec=np.zeros(len(vocabList)) #生成零向量的array
    for word in inputSet:
        if word in vocabList:
            returnVec[vocabList.index(word)]=1 #有单词，则该位置填充0
        else: print('the word:%s is not in my Vocabulary!'% word)
    return returnVec #返回全为0和1的向量

这种构建词向量的方法，只记录了每个词是否出现，而没有记录词出现的次数，这样的模型叫做词集模型，如果在词向量中记录词出现的次数，没出现一次，则多记录一次，这样的词向量构建方法，被称为词袋模型，下面构建以一个词袋模型的词向量生成函数bagOfWord2VecMN:

#词袋模型
def bagOfWords2VecMN(vocabList,inputSet):
    returnVec=[0]*len(vocabList)
    for word in inputSet:
        if word in vocabList:
            returnVec[vocabList.index(word)]+=1
    return returnVec #返回非负整数的词向量

import numpy as np

listPosts,listClasses=loadDataSet()
myVocabList=createVocabList(listPosts)
myVocabList

[‘garbage’,
‘love’,
‘posting’,
‘steak’,
‘stupid’,
‘please’,
‘not’,
‘my’,
‘dalmation’,
‘I’,
‘worthless’,
‘help’,
‘ate’,
‘licks’,
‘how’,
‘buying’,
‘food’,
‘to’,
‘has’,
‘problems’,
‘dog’,
‘mr’,
‘flea’,
‘take’,
‘stop’,
‘quit’,
‘him’,
‘is’,
‘so’,
‘maybe’,
‘cute’,
‘park’]

setOfWords2Vec(myVocabList,listPosts[0])

array([0., 0., 0., 0., 0., 1., 0., 1., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 0., 0.,
0., 1., 1., 1., 0., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.])

setOfWords2Vec(myVocabList,listPosts[1])

array([0., 0., 0., 0., 1., 0., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.,
1., 0., 0., 1., 0., 0., 1., 0., 0., 1., 0., 0., 1., 0., 1.])

2.2 运用词向量计算概率

再看前文提到的朴素贝叶斯的原理，要计算词向量$ω=(ω_0,ω_1,ω_2,...ω_N,)$ω=(ω0​,ω1​,ω2​,...ωN​,)，落入$c_i$ci​类别下的概率:

$p(c_i|\omega)=\frac{p(\omega|c_i)p(c_i)}{p(\omega)}$p(ci​∣ω)=p(ω)p(ω∣ci​)p(ci​)​

$p(c_i)$p(ci​)好求，用样本集中，$c_i$ci​的数量/样本总数即可

$p(\omega|c_i)$p(ω∣ci​)由各个条件特征互相独立且地位相同，$p(\omega|c_i)=p(\omega_0|c_i)p(\omega_1|c_i)\dots p(\omega_N|c_i)$p(ω∣ci​)=p(ω0​∣ci​)p(ω1​∣ci​)…p(ωN​∣ci​),可以分别求$p(\omega_o|c_i),p(\omega_1|c_i),p(\omega_2|c_i),\dots,p(\omega_N|c_i)$p(ωo​∣ci​),p(ω1​∣ci​),p(ω2​∣ci​),…,p(ωN​∣ci​)，从而得到$p(\omega|c_i)$p(ω∣ci​)

而求$p(\omega_k|c_i)$p(ωk​∣ci​)也就编程了求在分类类别为$c_i$ci​的文档词汇表集合中，单个词$w_k$wk​出现的概率，也就是
$p(w_k|c_i)=\frac{w_k在c_i中出现的次数}{c_i中词总数}$p(wk​∣ci​)=ci​中词总数wk​在ci​中出现的次数​

因此计算出现概率大致有这么一些流程：

用Python代码实现，创建函数TrainNB：

def trainNB0(trainMatrix,trainCategory):
    numTrainDocs=len(trainMatrix) #文档数目
    numWord=len(trainMatrix[0]) #词汇表词数目
    pAbusive=sum(trainCategory)/len(trainCategory) #p1,出现侮辱性评论的概率
    p0Num=np.zeros(numWord);p1Num=np.zeros(numWord)
    p0Demon=0;p1Demon=0
    for i in range(numTrainDocs):
        if trainCategory[i]==0:
            p0Num+=trainMatrix[i] #向量相加
            p0Demon+=sum(trainMatrix[i]) #向量中1累加求和
        else:
            p1Num+=trainMatrix[i]
            p1Demon+=sum(trainMatrix[i])
    p0Vec=p0Num/p0Demon
    p1Vec=p1Num/p1Demon
    return p0Vec,p1Vec,pAbusive

解释：

1. pAbusive=sum(trainCategory)/len(trainCategory)，表示文档集中分类为1的文档数目，累加求和将词向量中所有1相加，len求长度函数则对所有0和1进行计数，最后得到分类为1的概率
2. p0Num+=trainMatrix[i];p0Demon+=sum(trainMatrix[i])，前者是向量相加，其结果还是向量，trainMatrix[i]中是1的位置全部加到p0Num中，后者是先求和（该词向量中词项的数目），其结果是数值，表示词项总数。
3. p0Vec=p0Num/p0Demon，向量除以数值，结果是向量，向量中每个元素都除以该数值。

测试：对构建的朴素贝叶斯分类器训练函数进行测试：

trainMat=[]
for postinDoc in listPosts:
    trainMat.append(setOfWords2Vec(myVocabList,postinDoc))
p0v,p1v,pAb=trainNB0(trainMat,listClasses)

#myVocabList中第2个词汇是"Love",即myVocabList[1]='Love'
p0v[1]

0.041666666666666664

p1v[1]

0.0

#myVocabList中第5个词汇是"stupid",即myVocabList[4]='stupid'
p0v[4]

0.0

p1v[4]

0.15789473684210525

从结果我们看到，侮辱性文档出现的概率是0.5，词项’love’在侮辱性文档中出现的概率是0，在正常言论中出现的概率是0.042；词项‘stupid’在正常言论中出现的概率是0，在侮辱性言论中出现的规律是0.158.

• 算法漏洞：

  1. 乘积为0

  我们看到，当某分类下某词项出现频次为0时，其概率也是0，因此在计算$p(w_0|c_i)p(w_1|c_i)p(w_2|c_i)......p(w_N|c_i)$p(w0​∣ci​)p(w1​∣ci​)p(w2​∣ci​)......p(wN​∣ci​)会因为其中某个的概率为0而全部是0。

  为了避免这样的情况发生，我们将所有词项出现的频次都初始化为1，某类所有词项数量初始化为2。

  2. 因子太小导致结果溢出问题

  由于$p(w_0|c_i)p(w_1|c_i)p(w_2|c_i)......p(w_N|c_i)$p(w0​∣ci​)p(w1​∣ci​)p(w2​∣ci​)......p(wN​∣ci​)中每个因子都很小，所有因子相乘，特别是因子数量多的时候，会导致结果溢出，从而得到错误的数据

  避免溢出问题的发生，可以使用求自然对数的方法，自然对数和原本的数值同增同减，不会有任何损失，因此不会影响求得的概率结果。

因此，将朴素贝叶斯分类器函数修改为：

def trainNB1(trainMatrix,trainCategory):
    numTrainDocs=len(trainMatrix)
    numWord=len(trainMatrix[0])
    pAbusive=sum(trainCategory)/len(trainCategory)
    p0Num=np.ones(numWord);p1Num=np.ones(numWord)# 初始化为1
    p0Demon=2;p1Demon=2 #初始化为2
    for i in range(numTrainDocs):
        if trainCategory[i]==0:
            p0Num+=trainMatrix[i]
            p0Demon+=sum(trainMatrix[i])
        else:
            p1Num+=trainMatrix[i]
            p1Demon+=sum(trainMatrix[i])
    p0Vec=np.log(p0Num/p0Demon) #对结果求对数
    p1Vec=np.log(p1Num/p1Demon) #对结果求自然对数
    return p0Vec,p1Vec,pAbusive

2.3 运用分类器函数对文档进行分类

前文概率论讲到，计算文档在各类中的概率，取较大者作为该文档的分类，所以构建分类函数classifyNB:

def classifyNB(vec2Classify,p0Vec,p1Vec,pClass1):
    p1=sum(vec2Classify*p1Vec)+np.log(pClass1)
    p0=sum(vec2Classify*p0Vec)+np.log(1-pClass1)
    if p1>p0:
        return 1
    else:
        return 0

说明：
p1=sum(vec2Classifyp1Vec)+log(pClass1) 的数学原理是ln(ab)=ln(a) +ln(b)

接下来构造几个样本，来测试分类函数：

def testingNB():
    listPosts,listClasses=loadDataSet()
    myVocabList=createVocabList(listPosts)
    trainMat=[]
    for postinDoc in listPosts:
        trainMat.append(setOfWords2Vec(myVocabList,postinDoc))
    p0V,p1V,pAb=trainNB1(trainMat,listClasses)
    testEntry=['love','my','dalmation']
    thisDoc=setOfWords2Vec(myVocabList,testEntry)
    print(testEntry,'classified as:',classifyNB(thisDoc,p0V,p1V,pAb))
    testEntry=['stupid','garbage']
    thisDoc=np.array(setOfWords2Vec(myVocabList,testEntry))
    print(testEntry,'classified as:',classifyNB(thisDoc,p0V,p1V,pAb))

testingNB()

[‘love’, ‘my’, ‘dalmation’] classified as: 0
[‘stupid’, ‘garbage’] classified as: 1