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在深度学习领域，优化算法的选择是重中之重。梯度下降算法是目前神经网络中使用最广泛的优化算法之一。为了弥补朴素梯度下降的缺陷，又出现了SGD、SGD with Momentum、Adam、NAdam等。
深度学习优化算法经历了SGD->SGDM->NAG->AdaGrad->AdaDelta->Adam->Nadam 这样的发展历程。

优化模型的大体框架如下：

1、SGD

SGD没有动量的概念，也就是说：
$m_t=g_t; V_t=I^2$mt​=gt​;Vt​=I2
带入步骤3，可以看到下降梯度就是最简单的：
$\eta_t=\alpha \cdot g_t$ηt​=α⋅gt​

SGD最大的缺点是下降速度慢，而且可能会在沟壑的两边持续震荡，陷入局部最优点。

2、SGD with Momentum

为了抑制SGD的震荡，SGDM认为梯度下降过程可以加入惯性。下坡的时候如果发现是陡坡，就可以利用惯性跑的更快一些。SGDM在SGD的基础上引入了一阶动量。
$m_t=\beta_1 \cdot m_{t-1}+(1-\beta_1) \cdot g_t$mt​=β1​⋅mt−1​+(1−β1​)⋅gt​

一阶动量是各个时刻梯度方向的指数移动平均值，约等于最近 个时刻的梯度向量和的平均值。
也就是说，$t$t时刻的下降方向，不仅由当前点的梯度方向决定，而且由此前累积的下降方向决定。 $\beta_1$β1​的经验值为0.9，这就意味着下降方向主要是此前累积的下降方向，并略微偏向当前时刻的下降方向。想象高速公路上汽车转弯，在高速向前的同时略微偏向，急转弯可是要出事的。

3、SGD with Nesterov Acceleration

除了下降速度慢，SGD还有一个问题是困在局部最优的沟壑里震荡。

想象一下你走到一个盆地，四周都是略高的小山，你觉得没有下坡的方向，那就只能待在这里了。可是如果你爬上高地，就会发现外面的世界还很广阔。因此，我们不能停留在当前位置去观察未来的方向，而要向前一步、多看一步、看远一些。

NAG 全称为 Nesterov Accelerated Gradient，是在SGD、SGD-M的基础上进一步改进，改进点在于步骤1。

我们知道在时刻t的主要下降方向是由累积动量决定的，自己的梯度方向说了也不算，那与其看当前梯度方向，不如先看看如果跟着累积动量走了一步，那个时候再怎么走。因此，NAG在步骤1，不计算当前位置的梯度方向，而是计算如果按照累积动量走了一步，那个时候的下降方向：

$g_t=\nabla f(w_t- \frac{\alpha \cdot m_{t-1}}{\sqrt(V_{t-1})})$gt​=∇f(wt​−(​Vt−1​)α⋅mt−1​​)

然后用下一个点的梯度方向，与历史累积动量相结合，计算步骤2中当前时刻的累积动量。

4、AdaGrad

二阶动量的出现，才意味着“自适应学习率”优化算法时代的到来。SGD及其变种都是以同样的学习率更新参数，但深度神经网络往往包含大量的参数，对于经常更新的参数，我们已经积累了大量关于它的知识，不希望被单个样本影响太大，希望学习速率慢一些；对于偶尔更新的参数，我们了解它的信息太少，希望能从每个偶然出现的样本身上多学一些，即学习速率大一些。

二阶动量可以度量历史更新频率，二阶动量为迄今为止所有梯度值的平方和：
$V_t=\sum^t_{\tau=1}g_\tau^2$Vt​=τ=1∑t​gτ2​

由步骤3中的下降梯度：
$\eta_t=\alpha \cdot m_t / \sqrt{V_t}$ηt​=α⋅mt​/Vt​​

可知，此时的学习率实际上变成了$\alpha/\sqrt{V_t}$α/Vt​​，一般为了避免分母为0，会在分母上加一个小的平滑项。当参数更新越频繁，二阶动量越大，学习率就越小。

这一方法在稀疏数据场景下表现非常好。但也存在一些问题：因为 $\sqrt{V_t}$Vt​​ 是单调递增的，会使得学习率单调递减至0，可能会使得训练过程提前结束，即便后续还有数据也无法学到必要的知识。

5、AdaDelta / RMSProp

由于AdaGrad单调递减的学习率变化过于激进，我们考虑一个改变二阶动量计算方法的策略：不累积全部历史梯度，而只关注过去一段时间窗口的下降梯度。这也就是AdaDelta名称中Delta的来历。
前面我们讲到，指数移动平均值大约就是过去一段时间的平均值，因此我们用这一方法来计算二阶累积动量：

$V_t=\beta_2*V_{t-1}+(1-\beta_2)g_t^2$Vt​=β2​∗Vt−1​+(1−β2​)gt2​

这就避免了二阶动量持续累积、导致训练过程提前结束的问题了。

6、Adam

Adam 和 Nadam 是前述方法的集大成者。我们看到，SGD-M在SGD基础上增加了一阶动量，AdaGrad和AdaDelta在SGD基础上增加了二阶动量。把一阶动量和二阶动量都用起来，就是Adam了——Adaptive+Momentum。

7、Nadam

参考文献：
[1] 一个框架看懂优化算法之异同 SGD/AdaGrad/Adam
[2] Gradient Descent with Momentum