为什么要引入齐次坐标
前面我们提到了图像的缩放变换和旋转变换，可以用矩阵乘法的形式来表达变换后的像素位置映射关系。
那么，对于平移变换呢？平移变换表示的是位置变化的概念。如下图所示，一个图像矩形从中心点[x1,y1]平移到了中心点[x2,y2]处，整体大小和角度都没有变化。在x方向和y方向上分别平移了tx和ty大小。
显然：
这对于图像中的每一个点都是成立的。写成矩阵的形式就是：
我们再把前面的缩放变换和旋转变换的矩阵形式写出来：
缩放变换：
旋转变换：
我们注意到，缩放变换和旋转变换都可以表示成矩阵乘法的形式。实际上，图像的几何变换通常不是单一的，也就是说经常性的缩放、旋转、平移一起变换。例如先放大2倍，然后旋转45度，然后再缩小0.5倍。那么就可以表示成矩阵乘法串接的形式：
这样，不管有多少次变换，都可以用矩阵乘法来实现。但是平移变换呢？从前面看到，平移变换并不是矩阵乘法的形式，而是矩阵加法的形式！
那能不能把缩放变换、旋转变换、平移变换统一成矩阵乘法的形式呢，这样不管进行多少次变换，都可以表示成矩阵连乘的形式，将极大的方便计算和降低运算量。
这种方法就是“升维”，引入“齐次坐标”，将图像从平面2D坐标变成3D坐标。我们看看平移变换的矩阵形式：
将其升维，变成3维，上式就可以表示成：
这是个非常优美的地方，学习过矩阵乘法的同学可以算一下右边的式子，是否最终结果与前面是一样的。
这样，平移变换通过升维后的齐次坐标，也变成了矩阵乘法的形式。当然缩放变换和旋转变换的矩阵形式也得改一改，统一变成3维的形式。
缩放变换：
旋转变换：
终于统一了。以后所有的变换，不管怎样变换，变换多少次，都可以表示成一连串的矩阵相乘了，这是多么的方便。这就是引入齐次坐标的作用，把各种变换都统一了起来。