三维空间中判断射线与平面是否相交

摘要

本文内容包括：

• 三维空间中射线与平面的表示方法，
• 三维空间中判断射线与平面是否相交。

文末参考链接的资料都不错，但总漏点东西，所以把它们说总结到了一起。

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三维空间中射线的表示方法

射线可以用三个量来表示：射线的起始点、射线的方向向量以及射线的长度。

如图所示的射线的参数方程为：
$P(t) = P_0^{'} + t \vec{u}$P(t)=P0′​+tu
其中，$P(t)$P(t)为射线上的点，其所有可能的结果构成了整条射线；$P_0^{'}$P0′​是射线的起点，$\vec{u}$u 为射线的方向向量，$t$t为射线的长度且$t∈[0,∞)$t∈[0,∞)

三维空间中平面的表示方法

平面可以用二个量来表示：平面上任一点，过该点的平面法向量。

如图所示的平面的参数方程为：
$(P_0 - P)\vec{n} = 0$(P0​−P)n=0
其中，$P$P为变量，其所有可能的结果组成了这个平面；$P_0$P0​为平面上已知的某一点，$\vec{n}$n为平面上过已知点$P_0$P0​的法向量。
公式的物理意义为：$(P_0 - P)$(P0​−P)表示平面上的向量，其与平面法向量$\vec{n}$n总是垂直的，故它们之间的内积为0.

三维空间中射线与平面是否相交的判断方法

射线与平面存在3种情况：

1. 射线与平面平行。这时候肯定不相交。
2. 射线与平面不平行。但平面在射线负方向，这时候也不相交。
3. 射线与平面不平行。且平面在射线正方向，这时候射线与平面相交。

下面分情况讨论。
$\vec{n}\vec{u} = 0$nu=0时，这时候肯定不相交。
$\vec{n}\vec{u} \neq 0$nu​=0时，射线与平面不平行，射线所在的直线与平面必定相交于一点，记该点为$P(t)$P(t)，那么有：
$(P_0 - P(t))\vec{n} = 0$(P0​−P(t))n=0
带入射线参数方程$P(t) = P_0^{'} + t \vec{u}$P(t)=P0′​+tu， 有
$(P_0 - P_0^{'} + t \vec{u})\vec{n} = 0$(P0​−P0′​+tu)n=0
解之得
$t = \frac{(P_0^{'} - P_0)\vec{n}}{\vec{u}\vec{n}}$t=un(P0′​−P0​)n​注意，这里是向量点积，所以分子分母的$\vec{n}$n不能消掉。
当$t >= 0$t>=0时，交点在射线正方向上，所以射线与平面相交；
当$t < 0$t<0时，交点在射线负方向上，所以射线与平面不相交。

相关/参考链接

• 射线与平面相交判断 | 讲得我觉得最好的，但是没有讲分母为0为射线与平面平行的情况
• 射线与平面相交 | 讲了分母为零的情况
• 射线、平面的表示方式 | 讲得很简洁，但是有地方没讲清楚