五分钟读完一篇文章之仿射变换

仿射变换（Affine Transformation）作为图像图形学领域常用的一种变换模型，主要描述一种二维坐标点对之间线性变换， 它保持二维图形的“平直性”（straightness，即变换后直线还是直线）和“平行性”（parallelness，即变换后平行线还是平行线）。

仿射变换的定义

仿射变换通过一系列原子变换的复合来实现，其中包括：尺度（Scale，也叫“缩放”）、旋转（Rotation）、平移（Translation）和偏移（Shear，也叫“剪切”）。同时值得注意的是，三对不共线的二维对应坐标点之间确定唯一的仿射变换。

仿射变换可以分解为一个线性变换接上一个平移变换组成（显然，仿射变换不符合“齐次可加性”），所以仿射变换是线性变换的超集。

一般情况下，为了计算方便（将平移分量融入仿射变换矩阵）会使用齐次坐标，将原二维坐标增加一个维度，所以大部分情况下仿射变换的变换矩阵如上公式所示，从公示中可以很清晰的看出其含有六个*度（a，b，c，d，e，f） 。

仿射变换的参数估计
因为仿射变换矩阵含有六个*度，所以理论上讲我们至少需要三对不共线的二维对应坐标点，才可以求解仿射变换矩阵（单个二维坐标点含有x分量与y分量，可以列出两个线性方程）。当多对坐标点求解时构成超定方程组，可以基于最小二乘或者SVD等方法进行求解。

与透视（投影）变换的区别
仿射变换是一种二维坐标到二维坐标之间的映射，而透视（投影）变换是将目标投影到一个新的平面，它是二维（x，y）空间到三维（X，Y，Z）空间，再到另一个二维（x’，y’）空间的映射。

总结
图像方面仿射变换的详细介绍可以参考：数字图像处理（冈萨雷斯-第三版）。