XGBoost简单推导及理解

前言

XGBoost的全称是eXtreme Gradient Boosting。作为一个非常有效的机器学习方法，Boosting Tree是数据挖掘和机器学习中最常用的算法之一。因为它效果好，对于输入要求不敏感，相对LR 的优势如不需要做特征的归一化，自动进行特征选择，模型可解释性较好，可以适应多种损失函数如 SquareLoss，LogLoss 等，往往是从统计学家到数据科学家必备的工具之一，它同时也是kaggle比赛冠军选手最常用的工具。最后，因为它的效果好，在计算速度和准确率上，较GBDT有明显的提升计算复杂度不高，也在工业界中有大量的应用。

前置知识：GBDT

模型函数形式

给定数据集 $D = (x_{i}, y_{i})$ ,XGBoost进行additive training，学习 $K$ 棵树，采用以下函数对样本进行预测：

{\hat{y}}_{i} = ϕ (x_{i}) = \sum_{k = 1}^{K} f_{k} (x_{i}), f_{k} \in F

这里 $F$ 是假设空间， $f (x)$ 是CART回归树

F = {f (x) = w_{q (x)}} (q : R^{m} \to T, w \in R^{T})

注意：这里 $q (x)$ 表示将样本x分到了某个叶子节点上，w是叶子节点的分数（leaf score），所以 $w_{q (x)}$ 表示回归树对样本的预测值。这些定义在之后会用到。

目标函数

XGBoost的目标函数（函数空间）为

L (ϕ) = \sum_{i = 1}^{N} l (y_{i}, {\hat{y}}_{i}) + Ω (f_{k})

其中

l (y_{i}, {\hat{y}}_{i})

为误差函数，

Ω (f_{k})

为正则项，对每棵回归树的复杂度进行了惩罚。

那么有哪些指标可以衡量树的复杂度？

树的深度，内部节点个数，叶子节点个数(T)，叶节点分数(w)..
XGBoost用的是
$Ω (f_{k}) = γ T + \frac{1}{2} λ | | w | |^{2}$
对叶子节点个数和叶节点分数进行惩罚，相当于在训练过程中做了剪枝。

误差函数的泰勒二阶展开

第t次迭代之后，模型的的预测等于前t-1次的模型预测加上第t棵树的预测：

{\hat{y}}_{i}^{(t)} = {\hat{y}}_{i}^{(t - 1)} + f_{t} (x_{i})

此时目标函数可写作：

L^{(t)} = \sum_{i = 1}^{n} l (y_{i}, {\hat{y}}_{i}^{(t - 1)} + f_{t} (x_{i})) + Ω (f_{t})

公式中

y_{i}, {\hat{y}}_{i}^{(t - 1)}

都已知，模型要学习的只有第t棵树

f_{t}

将误差函数在

{\hat{y}}_{i}^{(t - 1)}

处进行二阶泰勒展开：

L^{(t)} \approx \sum_{i = 1}^{n} l (y_{i}, {\hat{y}}_{i}^{(t - 1)}) + g_{i} f_{t} (x_{i}) + \frac{1}{2} h_{i} f_{t}^{2} (x_{i}) + Ω (f_{t})

其中

g_{i} = \partial_{{\hat{y}}^{(t - 1)}} l (y_{i}, {\hat{y}}_{i}^{(t - 1)})

h_{i} = \partial_{{\hat{y}}^{(t - 1)}}^{2} l (y_{i}, {\hat{y}}_{i}^{(t - 1)})

将公式中的常数项去掉，得到:

{\hat{L}}^{(t)} = \sum_{i = 1}^{n} [g_{i} f_{t} (x_{i}) + \frac{1}{2} h_{i} f_{t}^{2} (x_{i})] + Ω (f_{t})

把 $f_{t}, Ω (f_{t})$ 写成树结构的形式，即把下式代入目标函数中
$f (x) = w_{q (x)}$ $Ω (f) = γ T + \frac{1}{2} λ | | w | |^{2}$

得到：

{\hat{L}}^{(t)} = \sum_{i = 1}^{n} [g_{i} w_{q (x_{i})} + \frac{1}{2} h_{i} w_{q (x_{i})}^{2}] + γ T + λ \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{T} w_{j}^{2}

其中 $\sum_{i = 1}^{n} [g_{i} w_{q (x_{i})} + \frac{1}{2} h_{i} w_{q (x_{i})}^{2}]$ 是对样本累加， $λ \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{T} w_{j}^{2}$ 是对叶节点累加。

统一起来：定义每个叶节点j上的样本集合为 $I_{j} = {i | q (x_{i}) = j}$
则目标函数可以写成按叶节点累加的形式：

{\hat{L}}^{(t)} = \sum_{j = 1}^{T} [(\sum_{i \in I_{j}} g_{i}) w_{j} + \frac{1}{2} (\sum_{i \in I_{J}} h_{i} + λ) w_{j}^{2}] + γ T = \sum_{j = 1}^{T} [(G_{j} w_{j} + \frac{1}{2} (H_{j} + λ) w_{j}^{2}] + γ T

如果确定了树的结构（即 $q (x)$ 确定），为了使目标函数最小，可以令其导数为0，解得每个叶节点的最优预测分数为:

w_{j}^{*} = - \frac{G_{j}}{H_{j} + λ}

代入目标函数，得到最小损失为：

{\hat{L}}^{*} = - \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{T} \frac{G_{j}^{2}}{H_{j} + λ} + γ T

学习策略

ID3算法采用信息增益
C4.5算法采用信息增益比
CART分类树采用Gini系数

在XGBoost中，参考上式， $\frac{G_{j}^{2}}{H_{j} + λ}$ 部分衡量了每个叶子节点对总体损失的的贡献，我们希望损失越小越好，则标红部分的值越大越好。

因此，对一个叶子节点进行分裂，分裂前后的增益定义为：
$G a i n = \frac{G_{L}^{2}}{H_{L} + λ} + \frac{G_{R}^{2}}{H_{R} + λ} - \frac{(G_{L}^{2} + G_{R})^{2}}{H_{L} + H_{R} + λ} - γ$
Gain的值越大，分裂后 L 减小越多。所以当对一个叶节点分割时，计算所有候选(feature,value)对应的Gain，选取Gain最大的进行分割。

树节点分裂方法(Split Finding)

精确算法:遍历所有特征的所有可能的分割点，计算gain值，选取值最大的（feature，value）去分割
近似算法: 对于每个特征，只考察分位点，减少计算复杂度

• Global：学习每棵树前，提出候选切分点
• Local：每次分裂前，重新提出候选切分点

实际上XGBoost不是简单地按照样本个数进行分位，而是以二阶导数值作为权重(Weighted Quantile Sketch)

稀疏值处理

当特征出现缺失值时，XGBoost可以学习出默认的节点分裂方向。
XGBoost简单推导及理解

其他特性

行抽样，列抽样(借鉴随机森林) ：降低过拟合，减少计算
支持自定义损失函数(需二阶可导)
Shrinkage：每次迭代会将叶子节点权重乘以系数，削弱每棵树影响
支持并行：XGBoost的并行是在特征粒度上的。我们知道，决策树的学习最耗时的一个步骤就是对特征的值进行排序（因为要确定最佳分割点），XGBoost在训练之前，预先对数据进行了排序，然后保存为block结构，后面的迭代中重复地使用这个结构，大大减小计算量。这个block结构也使得并行成为了可能，在进行节点的分裂时，需要计算每个特征的增益，最终选增益最大的那个特征去做分裂，那么各个特征的增益计算就可以开多线程进行。
可并行的近似直方图算法：树节点在进行分裂时，我们需要计算每个特征的每个分割点对应的增益，即用贪心法枚举所有可能的分割点。当数据无法一次载入内存或者在分布式情况下，贪心算法效率就会变得很低，所以xgboost还提出了一种可并行的近似直方图算法，用于高效地生成候选的分割点。

把连续的浮点特征值离散化成k个整数，同时构造一个宽度为k的直方图。在
遍历数据的时候，根据离散化后的值作为索引在直方图中累积统计量，当遍
历一次数据后，直方图累积了需要的统计量，然后根据直方图的离散值，遍
历寻找最优的分割点。

• 减小内存占用，比如离散为256个bin时，只需要8bit，节省7/8
• 减小了split finding时计算增益的计算量，从O(#data)

系统设计

Column Block
- 特征预排序，以column block的结构存于内存中。
- 存储样本索引（instance indices）
- block中的数据以稀疏格式（CSC）存储
这个结构加速了split finding的过程，只需要在建树前排序一次，后面节点分裂时直接根据索引得到梯度信息
Cache Aware Access
- column block按特征大小顺序存储，相应的样本的梯度信息是分散的，造成内存的不连续访问，降低CPU cache 命中率。
- 缓存优化方法
  - 预取数据到buffer中（非连续->连续），再统计梯度信息
  - 调节块的大小

XGBoost简单推导及理解

参考

http://www.52cs.org/?p=429
https://blog.****.net/a819825294/article/details/51206410
http://pan.baidu.com/s/1gfA6FK3
http://learningsys.org/papers/LearningSys_2015_paper_32.pdf
acm=1488265641_ffdebf36cef2b1bf7f3f76abf6bfe426”>http://delivery.acm.org/10.1145/2940000/2939785/p785-chen.pdf?ip=202.118.228.100&id=2939785&acc=ACTIVE%20SERVICE&key=BF85BBA5741FDC6E.5C4511229FC427D6.4D4702B0C3E38B35.4D4702B0C3E38B35&CFID=905733202&CFTOKEN=53852884&acm=1488265641_ffdebf36cef2b1bf7f3f76abf6bfe426

XGBoost简单推导及理解

前言

模型函数形式

目标函数

误差函数的泰勒二阶展开

学习策略

树节点分裂方法(Split Finding)

稀疏值处理

其他特性

系统设计

参考

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