机器学习笔记（1）从boost到xgboost

A. ensemble method

将几个模型（可能是分类器）通过某种方式组合在一起，共同完成任务。通常可分为两大类：

1. Averaging method

例如 Bagging， RF。其主要工作在于数据的采样方式，比如是否随机采样，是否有放回等等。子分类器通常为能力较强的模型。最终结果常常取子分类器的算术平均。

2. boosting method

可以使用“弱”分类器，依次，逐个对子模型进行训练，当前第m个模型会用到m-1时刻的结果。重点处理错误分类的数据样本，例如提高错误样本的权值，在“组合”阶段，使用加权平均的方式推理最终结果，能力强的模型权重大。

B.1 Adaboost (adaptive boost)

Adaboost是boosting方法的一种方案，但还不是具体方法（没有指定具体的子分类器）。

首先是其具体算法：

start：

1. 初始化权重

2. 对 m=1-->M有：

•     计算误差：
•     由目标函数（本文暂不作讨论,其实很重要）求
  
•     更新权重：, where Normalization factor 

3. 最终分类器为：

end

B.2 Adaboost一个例子[1]

[1]: https://blog.****.net/liyuan123zhouhui/article/details/51720472

C. gradient boost

梯度提升很巧妙的借用了梯度下降法的思路

1. 最终分类器模型与B.1里差不多：

这里g(*)是子模型

2. 目标函数为：

为了使其最小化，有

3. 计算太复杂，由于是前项分步加法模型，我们每一步只对一个基函数求解，逐步逼近

从梯度下降法的角度思考m时刻需要做的事，我们希望:

对比上两式，可以发现

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D. xgboost (extreme gradient boosting)[2]

强烈推荐看[2]原文

[2] http://www.52cs.org/?p=429

这里用到了Taylor expansion的前三项:

1. 还是先抬出目标函数：为了跟上面notation对应，我稍微改一下[2]中的notation

其中是正则项, 定义在后面会提到。

2. 目标函数使用Taylor expansion：

其中

中， 项为常数项，与C合并，由于是优化目标函数，C不影响，故不写出来了

3. 通过一个例子说明接下来的变换

如上图，设q为树的结构，即输入x到输出类型（叶子节点的索引）的映射关系，上图q=1,2,3。叶子节点上的权重为w，

即有：

假设有N=5个样本，分别落在了1,2,3号叶子节点上，顺序依次为（1,1,2,3,3）

则有：

暂时不讨论正则项，

如上式，我们发现，目标函数可以重写成 以叶子节点为迭代器 的形式（之前是用样本i=1:N来迭代）

即：

, T是叶子节点的个数

对于正则项，

, 是两个超参数。

因此，合并一下就有：

where， , 

于是，, 

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以上就是xgboost的原理推导，对于具体问题，不可能列举所有可能的树再进行打分，计算出最优模型，

因此作者提出一种贪心策略，对叶子节点进行再次分割时，引入增益函数：（与[2]一致，只是notation换了一下）

其中，

指的是分割后左边的部分，比如该叶子节点 j 所代表的类有：（当然也可以是一个连续区间比如[1,5]）, 分割条件是,

即将其分为两部分：，

那么:

同理其他的参数。

增益函数中，从左至右分别叫做：左子树分数，右子树分数，不分割时的分数，惩罚项（正则）

可以发现新添加分割不一定会使情况变好，正则项相当于“剪枝”。