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散点图的直观解决思路：更近

回到上一节：杨桃的Python机器学习5，我们最终得到了如下的散点图：

蓝色的点（标签为1）似乎都集中在图的左下部分，橙色的点（标签为0）似乎都集中在图的右上部分。

我们在散点图上再增加两个点A和B，想想他们的标签应该分别是什么？

同学们也许大概已经猜出来答案了：

点A和蓝色的点更近，应当是标签1

点B和橙色的点更近，应当是标签0

现在这个“更近”只是直观上的感觉，有没有更科学的计算呢？当然有！这就是欧式距离公式。

一维的距离度量

我们先以一维直线举例，如图：

如图所示，一维直线上有A和B两个点，A点在0的位置，B在5的位置。A点和B点的距离是：|AB|=|5-0|=5

现在增加一个C点在2的位置，请问C点离哪个点更近？

答案是显而易见的，计算两点之间的距离就能知道结果。

C点到A点的距离是：|CA|=|2-0|=|2|=2

C点到B点的距离是：|CB|=|2-5|=|-3|=3  (绝对值）

|CA| < |CB|，因此C点离A点更近。

一般的，两个点 在一维长度的距离公式就是 

二维的距离度量

现在我们把问题稍微复杂一点，从一维直线拓展到二维平面，如图：

A点的位置坐标是(0, 0)，B点的位置坐标是(3, 4)，现在求AB之间的距离（即红线长度）是多少？

可能有同学一下子就看出来了：这不就是勾股定理嘛？勾三股四弦五！完全正确！具体计算如下：

 

也就是说，二维平面上两点的距离公式是：横坐标之差的平方，加上纵坐标之差的平方，再开根号即可。

现在，我们在上图增加一个C点，位置坐标是(5, 2)，再分别求C点到A点和B点的距离（即蓝线和橙线长度）：

将A点、B点、C点的坐标分别代入二维平面上两点的距离公式，即得：

|CB| < |CA|，因此C点离B点更近。 

三维的距离度量

直接上公式吧，有兴趣的同学可以自己画图推导：

需要注意的是，三维距离公式只是在二维距离公式的基础上，增加了一个竖直方向的维度z

每个维度之间的距离仍然是计算差的平方，然后把所有维度的差的平方求和，最后开平方根。

千万不要以为三维就是开立方根啊！

n维的距离度量：欧式距离公式

当维度超过三维的时候，就很难用直观画图的形式展现出距离了。怎么计算呢？

第一步，我们需要把一维二维三维中点的坐标抽象成向量的表达形式，即

   ， 

再次强调，向量用小写字母表示，矩阵用大写字母表示！

在之前一维举例中，，，

在之前二维举例中，，，

在三维中

推广到n维，距离公式是：

这就是欧式距离公式。

再回到本节最初的分类问题：

我们可以用欧式距离公式得到点A到散点图中每一个点的距离。

得到距离之后呢？请看下一节的讲解。

 

总结

散点图的直观解决思路：找距离更近的点。

欧式距离公式：

一维情况下：

二维情况下：

三维情况下：

 

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