机器学习笔记（三）PCA主成份分析降维算法

（一）基础数学知识

随机变量的协方差

在概率论和统计中，协方差是对两个随机变量联合分布线性相关程度的一种度量。两个随机变量越线性相关，协方差越大，完全线性无关，协方差为零。定义如下。

                                                            cov⁡(X,Y)=E⁡[(X−E⁡[X])(Y−E⁡[Y])]

当X，Y是同一个随机变量时，X与其自身的协方差就是X的方差，可以说方差是协方差的一个特例。
或由于随机变量的取值范围不同，两个协方差不具备可比性。如XX，YY，ZZ分别是三个随机变量，想要比较XX与YY的线性相关程度强，还是XX与ZZ的线性相关程度强，通过cov(X,Y)cov⁡(X,Y)与cov(X,Z)cov⁡(X,Z)无法直接比较。定义相关系数
η，取值范围为[-1,1]，越接近1表示这两个随机变量的相关性越大，越接近-1表示这两个随机变量的相关性越小。

样本的协方差

在实际中，通常我们手头会有一些样本，样本有多个属性，每个样本可以看成一个多维随机变量的样本点，我们需要分析两个维度之间的线性关系。协方差及相关系数是度量随机变量间线性关系的参数，由于不知道具体的分布，只能通过样本来进行估计。

设样本对应的多维随机变量为，样本集合，

m为样本数量。与样本方差的计算相似，a和b两个维度样本的协方差公式为，

这里分母为m-1是因为随机变量的数学期望未知，以样本均值代替，自由度减一。

向量的表示及基变换

内积：

令B为单位向量，则A与B的内积值等于A向B所在直线投影的矢量长度

向量的表示及基变换

基的定义：一个向量空间,存在一个线性无关的向量组x1,...xn,...,使得对所有空间中的向量,都能被这个组线性表示.这个向量组就是这个空间的基.如果这个无关组有无限个向量,那么称这个空间是无限维的,如果有k个向量就称是k维的.
一般的,在n维空间中,那单位n个单位向量能构成一个基.但,基不是唯一的,任何个数为n的线性无关向量组都能构成n维空间的一基.

若向量为(3,2)，实际上表示线性组合： ，(1,0)和(0,1)叫做二维空间中的一组基.

基变换：数据与一个基做内积运算，结果作为第一个新的坐标分量，然后与第二个基做内积运算，结果作为第二个新坐标的分量
如向量（3，2）映射到基中坐标

（二）主成分分析

下面以一个例子说明主成份分析的步骤

现在假设有一组数据如下：

      行代表了样例，列代表特征，这里有10个样例，每个样例两个特征。可以这样认为，有10篇文档，x是10篇文档中“learn”出现的TF-IDF，y是10篇文档中“study”出现的TF-IDF。

第一步，对数据进行中心化：分别求x和y的平均值，然后对于所有的样例，都减去对应的均值。这样是为了使每个特征的数据均值为零。简化方差和协方差矩阵的计算。此时方差公式为：

,均值为零。协方差公式为

，m为样本的个数。协方差矩阵为(X^T)X

这里x的均值是1.81，y的均值是1.91，那么一个样例减去均值后即为（0.69,0.49），得到

     第二步，求特征协方差矩阵，如果数据是3维，那么协方差矩阵是

     这里只有x和y，求解得

对角线上分别是x和y的方差，非对角线上是协方差。协方差是衡量两个变量同时变化的变化程度。协方差大于0表示x和y若一个增，另一个也增；小于0表示一个增，一个减。如果ｘ和ｙ是统计独立的，那么二者之间的协方差就是０；但是协方差是０，并不能说明ｘ和ｙ是独立的。协方差绝对值越大，两者对彼此的影响越大，反之越小。协方差是没有单位的量，因此，如果同样的两个变量所采用的量纲发生变化，它们的协方差也会产生树枝上的变化。

第三步，求协方差的特征值和特征向量，得到

      上面是两个特征值，下面是对应的特征向量，特征值0.0490833989对应特征向量为，这里的特征向量都归一化为单位向量。

第四步，将特征值按照从大到小的顺序排序，选择其中最大的k个，然后将其对应的k个特征向量分别作为列向量组成特征向量矩阵。

这里特征值只有两个，我们选择其中最大的那个，这里是1.28402771，对应的特征向量是(-0.677873399, -0.735178656)T。

第五步，将样本点投影到选取的特征向量上。假设样例数为m，特征数为n，减去均值后的样本矩阵为DataAdjust(m*n)，协方差矩阵是n*n，选取的k个特征向量组成的矩阵为EigenVectors(n*k)。那么投影后的数据FinalData为

FinalData(10*1) = DataAdjust(10*2矩阵) x 特征向量(-0.677873399, -0.735178656)T

得到的结果是

      这样，就将原始样例的n维特征变成了k维，这k维就是原始特征在k维上的投影。

再看一个例子：以下数据由五个有两个特征的样本组成，将其从二维变为一维。

整个PCA过程貌似及其简单，就是求协方差的特征值和特征向量，然后做数据转换。但是有没有觉得很神奇，为什么求协方差的特征向量就是最理想的k维向量？

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是因为随机变量的数学期望未知，以样本均值代替，自由度减一。

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