冈萨雷斯《数字图像处理》学习笔记（5）--图像分割

一、点、线和边缘检测

这里用的图像检测方法主要是滤波操作。模板在图像中任意一点的响应R由下式给出：

其中， zi$z_i$ 是与模板系数 ωi${\omega }_i$ 相关的像素的灰度。
下面是点检测的模板：

线检测的模板如下（分别检测水平，45度，垂直和-45度的线）：

在谈边缘检测前，先看些基础知识：
二维函数的梯度定义如下：

幅值定义为：mag(▽f)=[(∂f∂x)2+(∂f∂y)2]12$mag(▽f)=[(\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}{)}^2+(\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}{)}^2{]}^{\frac{1}{2}}$
可以用下列两种方式近似：
mag(▽f)≈(∂f∂x)2+(∂f∂y)2$mag(▽f)\approx (\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}{)}^2+(\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}{)}^2$
mag(▽f)≈|∂f∂x|+|∂f∂y|$mag(▽f)\approx |\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}|+|\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}|$
边缘检测使用如下两个准则之一来找到图像中灰度快速变化的位置：

1. 寻找灰度的一阶导数的幅度大于某个指定的阈值。
2. 寻找灰度的二阶导数有零交叉的位置。

我们可以从下面的图看出为什么要使用上面两个准则。

很明显一阶导数幅度大的地方表示图像灰度变化十分剧烈，同理二阶导数的零交叉点也是灰度变化十分剧烈的位置。

又根据导数在数值上可近似为差分。我们利用如下滤波器可以达到边缘检测的目的。

LoG检测器
考虑高斯函数：

该函数的拉普拉斯算子是（即二阶微分）：

使用它卷积的效果： 平滑图像，降低噪声，产生一幅双边缘图像。因此可以通过双边缘之间的零交叉来定位边缘。

二、霍夫变换

采用Hough变换时，我们考虑一个点 (xi,yi)$(x_i,y_i)$ 和所有通过该点的直线。很明显，有无数条经过点 (xi,yi)$(x_i,y_i)$ 的直线，这些线对某些a值和b值来说，均满足 yi=axi+b$y_i=a{x}_i+b$ 。将该公式写为 b=−axi+yi$b=-a{x}_i+y_i$ 并考虑ab平面(也称为参数空间)，可对一个固定点 (xi,yi)$(x_i,y_i)$ 产生单独的一条直线。此外，第二个点 (xj,yj)$(x_j,y_j)$ 也有这样一条在参数空间上与它相关的直线，这条直线和与 (xi,yi)$(x_i,y_i)$ 相关的直线相交于点 (a′,b′)$(a^{\prime },b^{\prime })$ ，其中a’和b’分别是xy平面上包含点 (xi,yi)$(x_i,y_i)$ 和 (xj,yj)$(x_j,y_j)$ 的直线的斜率和截距。事实上，在这条直线上的所有点都有在参数空间中相交于点 (a′,b′)$(a^{\prime },b^{\prime })$ 的直线。下图说明了这些概念。

但这种方法在直线趋近于垂直时，a 的值将趋于无穷大。因此我们用法线来表示直线：

下图（a）说明了 ρ$\rho$ 和 θ$\theta$ 的几何意义。图（b）中每一条曲线表示通过 (xi,yi)$(x_i,y_i)$ 的一族直线。图（c）是将参数空间离散化进行计算。

霍夫变换把参数空间细分为累加器单元。其中， −D⩽ρ⩽D$-D⩽\rho ⩽D$（D是图像中两个对角之间的最远距离）。−90度⩽θ⩽90度$-90度⩽\theta ⩽90度$。最初每一个累加器单元数值设置为0。然后对图像中的每一个点 (xk,yk)$(x_k,y_k)$ ，使用所有离散化后的 θ$\theta$ 值代入公式 ρ=xkcosθ+yksinθ$\rho =x_{k}cos\theta +y_{k}sin\theta$ 求出相应的 ρ$\rho$ 值（将 ρ$\rho$ 值四舍五入为沿 ρ$\rho$ 轴最接近的允许单元值 ）。同时相应的累加器单元加1。上面的过程结束后，累加器表上记录下来的每个单元 (i,j) 的数值Q就意味着在xy平面上有Q个点位于线 xcosθj+ysinθj=ρi$xcos{\theta }_j+ysin{\theta }_j={\rho }_i$ 上。该表中最大的所对应的 (ρ0,θ0)$({\rho }_0,{\theta }_0)$ 就是xy平面上共线点数数目最多的直线方程的参数。

三、阈值处理

全局阈值处理

使用 Otsu 方法进行最佳全局阈值处理

类间方差最大化的思想是方差越大，越接近正确分割图像的阈值。下面给出类间方差的表达式（假设选定一个阈值k，C1是灰度级为[0,1,2,3,…,k]的一组像素，C2是灰度级为[k+1,..,.L-1]的一组像素）：

其中，p1(k)$p_1(k)$ 是集合C1发生的概率， p2(k)$p_2(k)$ 是集合C2发生的概率：
P1(k)=∑ki=0pi$P_1(k)=\sum _{i=0}^k{p}_i$
P2(k)=∑L−1i=k+1pi$P_2(k)=\sum _{i=k+1}^{L-1}{p}_i$

m1(k)$m_1(k)$ 是集合C1像素的平均灰度， m2(k)$m_2(k)$ 是集合C2像素的平均灰度， mG$m_G$ 是全局均值：
m1(k)=∑ki=0ipi$m_1(k)=\sum _{i=0}^{k}i{p}_i$
m2(k)=∑L−1i=k+1ipi$m_2(k)=\sum _{i=k+1}^{L-1}i{p}_i$
mG(k)=∑L−1i=0ipi$m_G(k)=\sum _{i=0}^{L-1}i{p}_i$

定义类间方差与图像总灰度方差的比值为：η(k)=σ2B(k)σ2G$\eta (k)=\frac{{\sigma }_B^2(k)}{{\sigma }_G^2}$

使用移动平均值的图像阈值处理

令 zk+1$z_{k+1}$ 表示第 k+1 步扫描时所遇到的点的灰度，那么这个新点处的移动平均由下式给出：

使用下式实现分割：

其中K是[0,1]区间的常数， mxy$m_{xy}$ 是输入图像中点（x,y）处的移动平均。

四、分水岭图像分割

构建大坝（Dam Construction）

最简单的构建大坝的方法就是利用形态学运算——膨胀。
下图展示了第n-1步淹没的两个集水盆地：

接着展现了第 n 步淹没的结果：

最后构建水坝：

为了说明下文，令M1和M2表示两个区域中的最小值点坐标的集合。将集水盆地点的坐标集合与这两个在溢出的第n-1步的最小值点的坐标集合联系起来，在第n-1步溢出处，两个最小值分别表示为 Cn−1(M1)$C_{n-1}(M_1)$ 和 Cn−1(M2)$C_{n-1}(M_2)$。它们代表上图第一幅图的两个灰色区域。再令C[n-1]表示这两个集合的并集。上图第一幅图有两个连通分量，第二幅图只有一个连通分量。令q表示第二幅图的连通分量。注意到，第一幅图的两个连通分量可以由“与”操作（q∩C[n−1]$q\cap C[n-1]$）从q中提取出来。

分水岭算法

令 M1$M_1$, M2$M_2$ …$\dots$ 表示图像g(x,y)的区域最小值的坐标的集合， C(Mi)$C(M_i)$ 表示与区域最小值 Mi$M_i$ 联系的集水盆地的点的坐标集合。令Cn(Mi)$C_n(M_i)$ 表示集水盆地与淹没阶段n的区域最小值 Mi$M_i$ 联系的的点的坐标集合，最后令T[n] 表示满足 g(s,t)<n$g(s,t)<n$ 的坐标(s,t) 的集合。根据上面的理解，可看出 Cn(Mi)$C_n(M_i)$ 是由下式给出的一幅二值图像：

接下来，我们令C[n]表示在阶段n 中已被水淹没的集水盆地的并：

我们可以理解为：C[n-1]中的每一个连通分量都恰好包含在T[n]的一个连通分量。下面是分水岭算法的步骤：