之前学习希尔伯特空间时，对其中的“完备空间”这个概念似懂非懂，今天特意查了一下，有了一定的理解，虽然不深刻。。。
百度百科如下：
完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。

柯西序列

这段解释中提到了柯西序列，柯西序列的百度百科如下：
一个柯西序列是指一个这样一个序列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近，如下图所示：

以复数序列为例，设复数序列(z1,z2,z3…)，若该序列为柯西列，那么对于任何正实数r>0，存在正整数N使得所有整数m,n≥N，都有|zm-zn|<r，其中竖线表示绝对值或模。
为了将柯西列的定义推广到一般的度量空间，可将绝对值替换为该度量空间的距离（实际上|zm-zn|也是一种度量空间中的距离），那么上述表示可更改为：设复数序列(z1,z2,z3…)，若该序列为柯西列，那么对于任何正实数r>0，存在正整数N使得所有整数m,n≥N，都有d(zm,zn)<r，其中d(zm,zn)表示zm和zn之间的距离。
可以看出柯西列的定义依赖于距离的定义，只有在度量空间中柯西列才有意义，因此一些场合中完备空间也被称为完备度量空间；另外根据完备空间的定义，也可将完备空间称为柯西空间。

空间完备

介绍完柯西序列重新回到完备空间，直接看定义不太直观，下面举个例子来加深理解。
在以绝对值为范数的有理数空间中，定义序列：

该序列是柯西序列，但该序列收敛到√2，可以看到收敛值并不在该有理数空间，那么该有理数空间不是完备的。
直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，两者都是某种“不缺点”。没有孔是指内部不缺点，不缺皮是指边界上不缺点。

最后注意收敛序列一定是柯西序列，但柯西序列并一定收敛，只有在完备度量空间下柯西序列才是收敛的，例如上面的证明有理数不完备时构造的数组，该数组收敛到√2，但√2并不是有理数，那么在该有理数空间中，该数组虽然是柯西序列，但并不收敛。