逻辑斯蒂回归算法
目录
逻辑斯蒂分布
二元逻辑斯蒂回归模型
二元逻辑斯蒂回归的损失函数及优化方法
二元逻辑斯蒂回归的正则化
逻辑回归也会面临过拟合问题，所以我们也要考虑正则化。常见的有L1正则化和L2正则化。
逻辑回归的L1正则化的损失函数表达式如下，相比普通的逻辑回归损失函数，增加了L1的范数做作为惩罚，超参数作为惩罚系数，调节惩罚项的大小。
二元逻辑回归的L1正则化损失函数表达式如下：
其中为
的L1范数。
逻辑回归的L1正则化损失函数的优化方法常用的有坐标轴下降法和最小角回归法。
二元逻辑回归的L2正则化损失函数表达式如下：
其中为
的L2范数。
逻辑回归的L2正则化损失函数的优化方法和普通的逻辑回归类似。
多元逻辑斯蒂回归
逻辑斯蒂回归小结
LR的流程可以描述为：
逻辑回归假设数据服从伯努利分布,通过极大化似然函数的方法，运用梯度下降来求解参数，来达到将数据二分类的目的。
1、找到合适的预测函数，用来预测输入数据的判断结果
对于二元逻辑回归
对于多元逻辑回归
2、构造损失函数，表示预测的输出和训练数据类别之间的偏差。
选择的损失函数为对数似然函数取反
选择极大似然函数作为损失函数的原因：
1）极大似然函数取对数后等同于对数损失函数，在LR中对数损失函数的训练求解参数的速度较快。
2）如果使用平方损失函数，梯度更新的速度和sigmod函数本身的梯度是很相关的。sigmod函数在它在定义域内的梯度都不大于0.25。这样训练会非常的慢。
3、根据梯度下降找到损失函数的最小值，即优化损失函数
4、LR处理高度相关的特征的原因
1）去掉高度相关的特征会让模型的可解释性更好
2）可以大大提高训练的速度。如果模型当中有很多特征高度相关的话，就算损失函数本身收敛了，但实际上参数是没有收敛的，这样会拉低训练的速度。其次是特征多了，本身就会增大训练的时间。
LR的优点
1、形式简单，模型的可解释性非常好。从特征的权重可以看到不同的特征对最后结果的影响，某个特征的权重值比较高，那么这个特征最后对结果的影响会比较大。
2、模型效果不错。在工程上是可以接受的（作为baseline)，如果特征工程做的好，效果不会太差，并且特征工程可以大家并行开发，大大加快开发的速度。
3、训练速度较快。分类的时候，计算量仅仅只和特征的数目相关。并且逻辑回归的分布式优化sgd发展比较成熟，训练的速度可以通过堆机器进一步提高，这样我们可以在短时间内迭代好几个版本的模型。
4、资源占用小,尤其是内存。因为只需要存储各个维度的特征值，。
5、方便输出结果调整。逻辑回归可以很方便的得到最后的分类结果，因为输出的是每个样本的概率分数，我们可以很容易的对这些概率分数进行cutoff，也就是划分阈值(大于某个阈值的是一类，小于某个阈值的是一类)。
LR的缺点
1、准确率并不是很高。因为形式非常的简单(非常类似线性模型)，很难去拟合数据的真实分布。
2、很难处理数据不平衡的问题。举个例子：如果我们对于一个正负样本非常不平衡的问题比如正负样本比 10000:1.我们把所有样本都预测为正也能使损失函数的值比较小。但是作为一个分类器，它对正负样本的区分能力不会很好。
3、处理非线性数据较麻烦。逻辑回归在不引入其他方法的情况下，只能处理线性可分的数据，或者进一步说，处理二分类的问题 。
4、逻辑回归本身无法筛选特征。有时候，我们会用gbdt来筛选特征，然后再上逻辑回归。
LR将连续特征离散化的原因
1、稀疏向量内积乘法运算速度快，计算结果方便存储，容易scalable（扩展）。
2、离散化后的特征对异常数据有很强的鲁棒性：比如一个特征是年龄>30是1，否则0。如果特征没有离散化，一个异常数据“年龄300岁”会给模型造成很大的干扰。
3、逻辑回归属于广义线性模型，表达能力受限；单变量离散化为N个后，每个变量有单独的权重，相当于为模型引入了非线性，能够提升模型表达能力，加大拟合。
4、离散化后可以进行特征交叉，由M+N个变量变为M*N个变量，进一步引入非线性，提升表达能力。
5、特征离散化后，模型会更稳定，比如如果对用户年龄离散化，20-30作为一个区间，不会因为一个用户年龄长了一岁就变成一个完全不同的人。当然处于区间相邻处的样本会刚好相反，所以怎么划分区间是门学问。
逻辑回归和线性回归的区别和联系
1）线性回归要求因变量服从正态分布，logistic回归对变量分布没有要求。
2）线性回归要求因变量（Y）是连续性数值变量，而logistic回归要求因变量是分类型变量。
3）线性回归要求自变量和因变量呈线性关系，而logistic回归不要求自变量和因变量呈线性关系
4）线性回归是直接分析因变量与自变量的关系，而logistic回归是分析因变量取某个值的概率与自变量的关系
逻辑回归和线性回归都属于广义线性回归模型。
1、回归与分类：回归模型就是预测一个连续变量(如降水量，价格等)。在分类问题中，预测属于某类的概率，可以看成回归问题。这可以说是使用回归算法的分类方法。
2、输出：直接使用线性回归的输出作为概率是有问题的，因为其值有可能小于0或者大于1,这是不符合实际情况的，逻辑回归的输出正是[0,1]区间
3、参数估计方法：
1）线性回归中使用的是最小化平方误差损失函数，对偏离真实值越远的数据惩罚越严重。这样做会有什么问题呢？假如使用线性回归对{0,1}二分类问题做预测，则一个真值为1的样本，其预测值为50，那么将会对其产生很大的惩罚，这也和实际情况不符合，更大的预测值说明为1的可能性越大，而不应该惩罚的越严重。
2）逻辑回归使用对数似然函数进行参数估计，使用交叉熵作为损失函数，对预测错误的惩罚是随着输出的增大，逐渐逼近一个常数，这就不存在上述问题了
3）也正是因为使用的参数估计的方法不同，线性回归模型更容易受到异常值(outlier)的影响，有可能需要不断变换阈值(threshold)。
LR和SVM的关系
1、LR和SVM都可以处理分类问题，且一般都用于处理线性二分类问题（在改进的情况下可以处理多分类问题）
2、两个方法都可以增加不同的正则化项，如l1、l2等等。所以在很多实验中，两种算法的结果是很接近的。
区别：
1、LR是参数模型，SVM是非参数模型。
2、从目标函数来看，区别在于逻辑回归采用的是logistical loss，SVM采用的是hinge loss，这两个损失函数的目的都是增加对分类影响较大的数据点的权重，减少与分类关系较小的数据点的权重。
3、SVM的处理方法是只考虑support vectors，也就是和分类最相关的少数点，去学习分类器。而逻辑回归通过非线性映射，大大减小了离分类平面较远的点的权重，相对提升了与分类最相关的数据点的权重。
4、逻辑回归相对来说模型更简单，好理解，特别是大规模线性分类时比较方便。而SVM的理解和优化相对来说复杂一些，SVM转化为对偶问题后,分类只需要计算与少数几个支持向量的距离,这个在进行复杂核函数计算时优势很明显,能够大大简化模型和计算。
5、logic 能做的 svm能做，但可能在准确率上有问题，svm能做的logic有的做不了。
scikit-learn 逻辑回归类库使用小结
概述
在scikit-learn中有三种逻辑回归函数： LogisticRegression， LogisticRegressionCV 和logistic_regression_path。
LR和LRCV的区别在于：LRCV使用了交叉验证来选择正则化系数C，LR需要自己每次指定一个正则化系数。
logistic_regression_path拟合数据后，不能直接来做预测，只能为拟合数据选择合适逻辑回归的系数和正则化系数。
正则化选择参数：penalty
penalty参数可选择的值为"l1"和"l2"。分别对应L1的正则化和L2的正则化，默认是L2的正则化。
选择L1正则的情况：
1、使用L2正则化后，依旧过拟合
2、模型特征过多，希望将一些不重要的特征系数归零，从而让模型系数稀疏化。
优化算法选择参数：solver
solver决定了损失函数的优化方法，共有4种：
1、liblinear：使用了开源的liblinear库实现，内部使用了坐标轴下降法来迭代优化损失函数。（L1正则化只有这一种优化方式，因为L1正则化的损失函数不是连续可导）
2、lbfgs：拟牛顿法的一种，利用损失函数二阶导数矩阵即海森矩阵来迭代优化损失函数。
3、newton-cg：也是牛顿法家族的一种，利用损失函数二阶导数矩阵即海森矩阵来迭代优化损失函数。
4、sag：即随机平均梯度下降，每次迭代仅仅用一部分的样本来计算梯度，适合于样本数据多的时候。
分类方式选择参数：multi_class
ovr：one-vs-rest(OvR)，multinomial：many-vs-many(MvM)。二元逻辑回归无区别，多元逻辑回归有区别。
1、OvR：将多元逻辑回归当做二元逻辑回归。具体做法是，对于第K类的分类决策，我们把所有第K类的样本作为正例，除了第K类样本以外的所有样本都作为负例，然后在上面做二元逻辑回归，得到第K类的分类模型。其他类的分类模型获得以此类推。
OvR可以选择4种损失函数优化方法
2、MvM如果模型有T类，我们每次在所有的T类样本里面选择两类样本出来，不妨记为T1类和T2类，把所有的输出为T1和T2的样本放在一起，把T1作为正例，T2作为负例，进行二元逻辑回归，得到模型参数。我们一共需要T(T-1)/2次分类。
MvM只能选择三种损失函数优化方法，不能选择liblinear
类型权重参数：class_weight
class_weight：标示各种类型的权重，
1、不输入，不考虑权重，所有类型的权重一样。
2、balanced，让类库自己计算类型权重，根据训练样本量来计算权重。某种类型样本量越多，则权重越低，样本量越少，则权重越高。
3、自己定义，class_weight={0:0.9, 1:0.1}，这样类型0的权重为90%，而类型1的权重为10%。
1）误分类的代价很高。例如对合法和非法进行分类，将非法分类为合法代价很高，就可以提高非法类别的权重。
2）样本高度失衡，提高少数类别的权重，也可以选择balanced
样本权重参数：sample_weight
样本不平衡，通过调节样本权重来解决。调节样本权重的方法有两种，
1、在class_weight使用balanced。
2、调用fit函数时，通过sample_weight来自己调节每个样本权重。
在scikit-learn做逻辑回归时，如果上面两种方法都用到了，那么样本的真正权重是class_weight*sample_weight.
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