Logistic Regression

Logistic Regression step

我们用逻辑回归的方式直接找出w和b
**函数σ(z)在0~1之间，以0.5为分界线，可以很好的解决二分类问题。
如上图，**函数是怎么来的？由我之前的classification：probabilistic generative model这篇博客中可推出来σ(z)=P(C1|x),那么我直接找w,b，这个概率不就出来了吗？

我们要怎么找出最好的w和b？如上图，假设训练集有N个样本，且只属于class1或class2。我们将这些样本都带进σ(z)，然后将求class1的概率的乘积，注意，第三项是给的class2，所以我要用1减去class2的概率才能得到class1的概率。我们穷尽所有w,b，然后选取使L(w,b)最大的w和b

如果直接求最大L(w,b)，那么求导太麻烦了，我们转换一下思想，如上图，将其转化为求-lnL(w,b)的最小值，因为ln可以打开成加法，求导很方便。于是就有了上图的转化过程。我们可以看到，每一部分都是一样的形式，只是有些的因子是0被约掉了而已，具体请看下图：两个伯努利分布的交叉熵（大概知道有这回事就行了）

现在，我们来求这个-lnL(w,b)的最小值：

如下图，求完一阶导之后的最终化简结果，然后我们对其进行梯度下降，找到w

why not to use square error?

为什么逻辑回归不使用线性回归的error的平方来作为损失函数？
如下图推理，如果使用了error的平方，那么当y的实际值是1时，而预测的值也是1，那么损失为0，说明接近目标，但是当预测的值为0时，损失仍然为0，折就不对了！！！

我们来看看逻辑回归使用交叉熵和使用平方误差的不同，我们可以看到使用交叉熵时，离最低点越远的点倾斜度愈大，梯度下降的越快，这是恰当的，而使用square error时，距离最低点很远的点下降的很慢。

如下图，我们可以看到逻辑回归和线性回归的梯度下降的式子一样。

Discriminative v.s. Generative

discriminative是直接找w,b，而generative是要先找μ1，μ2等参数然后才能计算出w和b，所以用这两种方式找出来的w和b不一样。

下面来看一个例子：第一个向量人类来看直接就会分为class1，而利用朴素贝叶斯结果又如何？

我们发现，用朴素贝叶斯得出来的结论是小于0.5,也就是它被归为了class2.
通常情况下discrimination会更好，因为他是使用我确实有的有限样本去预测的。那么generative就一定不好吗？当然不是！！
Generative对可能的分布进行假设，所需要的训练数据更少，然后对垃圾样本的影响不敏感。回想一下之前预测的那只龟，他并不在我的有限训练数据里，难道我就直接断定p(x|C)等于0了吗？肯定不是，因为我的样本是有限的，可能仅仅是我的水属性样本里面确实没有这只宝可梦，但是不代表在无限样本的水属性宝可梦里没有这只，我们需要用高斯分布那个概率公式去计算。

上图的以往经验就可以看成是高斯分布的那个概率公式。

Multi-class classification

多分类的问题我们采取下图的方法，比如有三个分类，当传入一个x时，经过下图的步骤，将这个x的结果分别映射到三个0~1的数上，然后比较一下这三个数，谁更大就是哪一类。

limitation of logistic regression

如下图这种情况，我无法找到一条线将其区分。
这时，我们可以用某种方法将这四个点的位置转换一下就可以了。但是转化不总是容易的，我们不能花太多的时间在转化这个上面。
其中一个比较好的方法就是级联逻辑回归，也就是将几个逻辑回归拼起来。将每个点的x1和x2用逻辑回归都转换成新的x1和x2，然后将新的再次使用逻辑回归得出结果
结果如下：
再将新的x1和x2作为input传入，然后输出最终结果

若干个逻辑回归级联就是深度学习！！