机器学习算法~主成分分析（PCA）

主成分分析：降维算法
作用：1、数据压缩； 2、数据降维，可视化。

1、先看看1、数据压缩untitled

2、数据降维可视化2

综合来看，主成分分析就是，找到一个方向u1，可以最小化方向误差如下面两幅图所示

那么扩展到N维到K维，也就是在数据中找出K个方向向量u1, u2, u3, u4......uk，使得总的方向误差最小。

需要强调的是，PCA是和线性回归不一样的

PCA是一种常用的降维算法，它可以用来选取合适的方向向量。这里用投影误差来定量分析方向向量的优势。
投影误差就是数据点到方向向量的距离，也就是图中的蓝色线段长度。
线性回归也是得到一个拟合数据的直线。不同的是，PCA中的误差是点到直线的垂直距离，线性回归中的误差是点到直线的竖直距离：5

1. 数据预处理：mean normalization

feature scaling：(可选，不同特征范围差距过大时需要)

2. 计算协方差矩阵(Convariance Matrix)

3. 计算协方差矩阵Σ的特征向量[U, S, V] = svd(Sigma) ，得到矩阵U

4. 选择U矩阵的前k个列向量作为k个主元方向，形成矩阵，如上图公式中。

5. 对于每个原始数据点x（x 是N维数据）其降维后的数据点z（k维）

重构数据：对于降维后k维数据点z，将其恢复n维后的近似点为

选择K

平均投射误差(Average square projection error）

total variation

选择最小的k值使得

也可以使用SVD分解后的S矩阵进行选择

降维后，可以这样复原

因为Z是由X乘以变换矩阵U的转置得到的。

(2)使用降维后的数据进行模型训练

(3) 对于新的数据点，先PCA降维得到降维后数据，带入模型获得预测值

注：应仅用训练集数据进行PCA降维获取映射，不要用PCA阻止过拟合，用regularization。

在使用PCA之前，先用原始数据进行模型训练，如果不行，再考虑使用PCA；而不要上来直接使用PCA。