逻辑回归(Logistic Regression, LR)模型其实仅在线性回归的基础上，套用了一个逻辑函数，但也就由于这个逻辑函数，使得逻辑回归模型成为了机器学习领域一颗耀眼的明星，更是计算广告学的核心。本文主要详述逻辑回归模型的基础，至于逻辑回归模型的优化、逻辑回归与计算广告学等，请关注后续文章。

1 逻辑回归模型

    回归是一种极易理解的模型，就相当于y=f(x)，表明自变量x与因变量y的关系。最常见问题有如医生治病时的望、闻、问、切，之后判定病人是否生病或生了什么病，其中的望闻问切就是获取自变量x，即特征数据，判断是否生病就相当于获取因变量y，即预测分类。

    最简单的回归是线性回归，在此借用Andrew NG的讲义，有如图1.a所示，X为数据点——肿瘤的大小，Y为观测值——是否是恶性肿瘤。通过构建线性回归模型，如h_θ(x)所示，构建线性回归模型后，即可以根据肿瘤大小，预测是否为恶性肿瘤h_θ(x)≥.05为恶性，h_θ(x)<0.5为良性。

图1 线性回归示例

    然而线性回归的鲁棒性很差，例如在图1.b的数据集上建立回归，因最右边噪点的存在，使回归模型在训练集上表现都很差。这主要是由于线性回归在整个实数域内敏感度一致，而分类范围，需要在[0,1]。逻辑回归就是一种减小预测范围，将预测值限定为[0,1]间的一种回归模型，其回归方程与回归曲线如图2所示。逻辑曲线在z=0时，十分敏感，在z>>0或z<<0处，都不敏感，将预测值限定为(0,1)。

图2 逻辑方程与逻辑曲线

    逻辑回归其实仅为在线性回归的基础上，套用了一个逻辑函数，但也就由于这个逻辑函数，逻辑回归成为了机器学习领域一颗耀眼的明星，更是计算广告学的核心。对于多元逻辑回归，可用如下公式似合分类，其中公式(4)的变换，将在逻辑回归模型参数估计时，化简公式带来很多益处，y={0,1}为分类结果。 

    对于训练数据集，特征数据x={x₁, x₂, … , x_m}和对应的分类数据y={y₁, y₂, … , y_m}。构建逻辑回归模型f(θ)，最典型的构建方法便是应用极大似然估计。首先，对于单个样本，其后验概率为：

   那么，极大似然函数为：

 log似然是：

2 梯度下降

    由第1节可知，求逻辑回归模型f(θ)，等价于：

 采用梯度下降法：

  从而迭代θ至收敛即可：