线性回归、梯度下降、逻辑回归（Linear Regression、Gradient Descent、Logistic Regression）
Regression 常规步骤
- 寻找h函数（即预测函数）
- 构造J函数（损失函数）
- 想办法使得J函数最小并求得回归参数（θ）
线性回归（Linear Regression）
假设特征和结果满足线性关系，即满足一个计算公式h(x)，这个公式的自变量就是已知的数据x，函数值h(x)就是要预测的目标值。这一计算公式称为回归方程，得到这个方程的过程就称为回归。
线性回归就是假设这个方式是一个线性方程，即假设这个方程是一个多元一次方程。假设自变量为x1、x2，因变量为y，我们用h(x)来表示y。假设x与y是线性关系。他们满足公式
上述公式中的θ为参数，也称为权重，可以理解为x1和x2对h(x)的影响度。对这个公式稍作变化就是
公式中θ和x是向量，n是样本数。
损失函数（Loss Function）--依据训练数据求解θ的最优取值
损失函数利用最小二乘法
梯度下降（Gradient Descent）
求解使得J(θ)最小的θ值，最小均方算法（Least mean square，LMS算法）大概的思路是：我们首先随便给θ一个初始化的值，然后改变θ值让J(θ)的取值变小，不断重复改变θ使J(θ)变小的过程直至J(θ)约等于最小值。θ迭代公式：
公式中α称为步长（learning rate），它控制θ每次向J(θ)变小的方向迭代时的变化幅度。J(θ)对θ的偏导表示J(θ)变化最大的方向。由于求的是极小值，因此梯度方向是偏导数的反方向。求解一下这个偏导，过程如下：
那么θ的迭代公式就变为：
样本为多个时，可以使用：梯度下降（gradient descent）和正则方程（The normal equations）
- 批梯度下降（batch gradient descent）--每一步都是计算的全部训练集的数据
转化为处理多个样本就是如下表达：
注意，梯度下降可能得到局部最优，但在优化问题里我们已经证明线性回归只有一个最优点，因为损失函数J(θ)是一个二次的凸函数，不会产生局部最优的情况。（假设学习步长α不是特别大）
批梯度下降的算法执行过程如下图：
- 随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent, SGD）
随机梯度下降表达式如下：
执行过程如下图：
批梯度下降和随机梯度下降在三维图上对比如下：
线性回归是回归问题中的一种，线性回归假设目标值与特征之间线性相关，即满足一个多元一次方程。使用最小二乘法构建损失函数，用梯度下降来求解损失函数最小时的θ值。
参考自：http://www.cnblogs.com/BYRans/p/4700202.html#3771771
逻辑回归本质上是线性回归，只是在特征到结果的映射中加入了一层函数映射，即先把特征线性求和，然后使用函数g(z)将最为假设函数来预测。g(z)可以将连续值映射到0到1之间。线性回归模型的表达式带入g(z)，就得到逻辑回归的表达式:
- 逻辑回归的软分类
- 梯度上升
第二步是根据g(z)求导的特性g'(z) = g(z)(1 - g(z)) 。
第三步就是普通的变换。
- Logistic Regression的适用性
只有在feature和target是线性关系时，才能用Logistic Regression
逻辑回归不像朴素贝叶斯一样需要满足条件独立假设（因为它没有求后验概率）。但每个feature的贡献是独立计算的，即LR是不会自动帮你combine 不同的features产生新feature的。
- 逻辑回归的优缺点
1）可以适用于连续性和类别性自变量；
2）速度快，适合二分类问题 （预测结果是界于0和1之间的概率）；
3）简单易于理解，直接看到各个特征的权重 ；
4）能容易地更新模型吸收新的数据 。
缺点：
对数据和场景的适应能力有局限性，不如决策树算法适应性那么强。
1）对模型中自变量多重共线性较为敏感，例如两个高度相关自变量同时放入模型，可能导致较弱的一个自变量回归符号不符合预期，符号被扭转。需要利用因子分析或者变量聚类分析等手段来选择代表性的自变量，以减少候选变量之间的相关性；
2）预测结果呈“S”型，因此从log(odds)向概率转化的过程是非线性的，在两端随着log(odds)值的变化，概率变化很小，边际值太小，slope太小，而中间概率的变化很大，很敏感。 导致很多区间的变量变化对目标概率的影响没有区分度，无法确定阀值。