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非线性方程求解：弦截法和抛物线法

分类: 文章 • 2023-10-16 22:00:03

非线性方程求解：弦截法和抛物线法

牛顿迭代法虽然具有收敛速度快的优点，但每迭代一次都要计算函数导数，

而有些函数的导数计算十分麻烦。

弦截法和抛物线法便是为了避免上述不便而提出的方法.

一、弦截法：

牛顿迭代公式：xk+1=xk−f(xk)f′(xk) 牛顿迭代公式：\\ x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{'}(x_k)}\\

替换牛顿公式中的f’(x),便得到迭代公式：
xk+1=xk−f(xk)(xk−xk−1)f(xk)−f(xk−1)这就是弦截迭代公式. x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)(x_k-x_{k-1})}{f(x_k)-f(x_{k-1})}\\ 这就是弦截迭代公式.

算法流程：

非线性方程求解：弦截法和抛物线法

注意，弦截迭代发要用到前两步的结果：

xk和xk−1. x_{k}和x_{k-1}.

二、抛物线法

根据牛顿多项式插值公式：
Nn(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)(x−x1)+...+an(x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1) N_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+...+a_n(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})
取三次牛顿插值公式得：
N2(x)=f(xk)+f[xk,xk−1](x−xk)+f[xk,xk−1,xk−2](x−xk)(x−xk−1) N_2(x)=f(x_k)+f[x_k,x_{k-1}](x-x_k)+f[x_k,x_{k-1},x_{k-2}](x-x_k)(x-x_{k-1})
令上式等于0，得到：
xk+1=xk−2f(xk)ω±ω−4f(xk)f[xk,xk−1,xk−2]式中： x_{k+1}=x_k-\frac{2f(x_k)}{\omega±\sqrt{\omega-4f(x_k)f[x_k,x_{k-1},x_{k-2}]}}\\ 式中：\\

{f[xk,xk−1]=f(xk)−f(xk−1)xk−xk−1f[xk,xk−1,xk−2](xk−xk−1)=f[xk,xk−1]−f[xk−2,xk−2]xk−xk−2ω=f[xk,xk−1]+f[xk,xk−1,xk−2](xk−xk−1) \begin{cases} f[x_k,x_{k-1}]=\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}} \\ \\ f[x_k,x_{k-1},x_{k-2}](x_k-x_{k-1})= \frac{f[x_k,x_{k-1}]-f[x_{k-2},x_{k-2}]}{x_k-x_{k-2}}\\ \\ \omega=f[x_k,x_{k-1}]+f[x_k,x_{k-1},x_{k-2}](x_k-x_{k-1})\\ \end{cases}

上式计算可以得到两个值，选择解得时候应该选择离xk更接近的解.

弦截法和抛物线法只是对迭代公式进行了更改，并不影响算法的流程，可以参考链接中的代码进行算法仿真.

链接非线性方程求解 ：二分迭代法和牛顿迭代法

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