三角化

一、三角化


二、求y
一中的问题转化为最小二乘问题

          $\min \|D y\|_{2}^{2} \quad$min∥Dy∥22​ s.t. $\|y\|=1$∥y∥=1

            $\|D y\|_{2}^{2} =y^{\prime} D^{\top} D y$∥Dy∥22​=y′D⊤Dy

对D进行SVD分解
          $D_{2n*4} = \mathrm{U}_{2n*2n} \Sigma_{2n*4} \mathrm{V}_{4*4}^{\mathrm{T}}$D2n∗4​=U2n∗2n​Σ2n∗4​V4∗4T​

      $\left(D^{T} D\right)_{4 k 4}=V \Sigma^{\top} \Sigma V^{\top}=\sum_{i=1}^{4} \sigma_{i}^{2} v_{i} v_{i}^{T}$(DTD)4k4​=VΣ⊤ΣV⊤=∑i=14​σi2​vi​viT​

D满秩且$\sigma_{1}^{2}>\sigma_{2}^{2}>\sigma_{3}^{2}>\sigma_{4}^{2}$σ12​>σ22​>σ32​>σ42​

因为$v_{1} , v_{2} ,v_{3}, v_{4}$v1​,v2​,v3​,v4​为一组基向量

设$y=\sum_{i=1}^{4} k_{i} v_{i}$y=∑i=14​ki​vi​，因为$\|y\|_{2}^{2}=1$∥y∥22​=1，故有$\sum_{i=1}^{4} k_{i}^{2}=1$∑i=14​ki2​=1

则
$\begin{aligned} y^{T} D^{T} D y &=\left(\sum_{i=1}^{4} k_{i} v_{i}\right)^{\top}\left(\sum_{i=1}^{4} \sigma_{i}^{2} v_{i} v_{i}^{\top}\right)\left(\sum_{i=1}^{4} k_{i} v_{i}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{4} k_{i}^{2} \sigma_{i}^{2} \geqslant \sigma_{4}^{2} \end{aligned}$yTDTDy​=(i=1∑4​ki​vi​)⊤(i=1∑4​σi2​vi​vi⊤​)(i=1∑4​ki​vi​)=i=1∑4​ki2​σi2​⩾σ42​​

当且仅当$y=v_{4}$y=v4​时等号成立，原问题取最小值
故路标点坐标y归一化后的坐标即为SVD分解后最小奇异值对应的向量$v_{4}$v4​。
最终求得路标点坐标$y=k*v_{4}$y=k∗v4​，其中$k*(v_{4})_{4}=1$k∗(v4​)4​=1(将归一化形式恢复成齐次坐标形式)