系统辨识(五):系统辨识的最小二乘法基础
一、最小二乘法的基本原理
在研究分析的过程中,经常要对一些研究对象构建数学模型来进行分析。通常在建模过程中有机理法建模和通过数据驱动的方式建模。因此怎样确定系统的数学模型及参数———即系统辨识问题就自然被提了出来。
问题的提出:
二、最小二乘法数学模型
用最小二乘法(Least Squares Method,简称LS)进行参数估计,首先要指定模型类,通常情况下,采用差分方程来描述被辨识系统,且假定系统的阶次已知。
三、加权最小二乘法
如果考虑到在不同时刻、不同环境下,数据的价值不同,这时可引入“加权因子”,即修正系数,对不同次的数据进行修正。
四、对于测试信号的要求
系统可以辨识的条件:输入信号必须是持续激励信号。
五、最小二乘估计值的统计性质
最小二乘估计把参数估计问题转化成了确定性最优化问题。在求解过程当中并没有涉及到噪声问题。
5、结论
一种参数估计方法如果具有无偏性、一致性和有效性,那么这种估计方法就是一种好的估计方法。
若所面向的数学模型是ARX模型,则最小二乘估计一定具有无偏性、一致性和有效性。最小二乘法是一种非常完美的参数估计方法。
六、最小二乘法的递推算法
递推最小二乘法(Recursive Least Squares Method)
递推算法的公式推导:
递推算法的启动:
七、最小二乘法的实时算法
“实时”的含义:
⑴ 及时,计算速度快,在指定时间内完成一次估计,上述的无限增长记忆的递推最小二乘法就具备了很好的及时性;
⑵ 真实,能准确地反映系统的当前特性(如时变参数等),也就是说,要能够适应系统本身或环境变化,所以实时算法也叫做适应算法。
从原理上讲,随着观测数据的增加,通过不断地递推估计,模型参数的估计精度将不断提高(根据一致性),无限增长记忆方式的根据正在于此。
在实际应用中,常常会因为数据量的加大,而使估计精度下降且远离参数真值。这主要是因为数据饱和现象和系统的时变性引起的。
- 数据饱和现象
随着观测次数的增加,数据越来越多,以至于新数据所提供的信息被淹没在旧数据的海洋之中,新数据所起的作用也越来越小,算法的修正能力也越来越弱。
- 时变参数系统
当出现数据饱和后,最终可能会使 PN失去正定性、对称性,舍入误差将起主导作用,估计值偏离真值越来越大。
时变参数系统是指系统的动态特性随时间变化,即系统参数随时间变化。无限增长记忆的算法对所有的数据都同等地看待,不能反映当前特性的历史数据一直在起作用,而反映当前特性的新数据却起不到足够的作用。因此,应采取措施去除历史旧数据的影响,同时加重新数据的份量。
可采用加权最小二乘法来解决以上问题
7.1、渐消记忆的最小二乘递推算法
由于历史数据向前按指数衰减,所以又叫做加指数窗的最小二乘法。
渐消记忆的最小二乘法常用于自适应控制系统,当u=1时,就退化成了无限增长记忆的最小二乘法。
7.2、限定记忆的最小二乘递推算法
渐消记忆的最小二乘法旧数据的影响有所减弱,但始终都在起作用。
限定记忆的最小二乘法(Fixed Memory Least Squares Method) 总是使用最近N组观测数据,每次估计时,当添入一组新的观测数据时,就丢弃一组最老的数据。因此,也叫做加矩形窗的最小二乘法。这种算法更适合于时变系统和克服数据饱和。
限定记忆最小二乘法有效地割断了历史数据的影响,因此,更有利于克服数据饱和现象,更适用于时变参数系统。
但是数据限定长度N的选择,只能根据经验,不同的数据长度N,会直接影响到估计的精度。
八、最小二乘法的局限性
最小二乘法具有很多优点:
⑴ 适用范围广,适用于动态或静态、线性或非线性、定常或时变系统;
⑵ 可离线辩识,也可在线辨识;
⑶ 将被辨识系统完全视为黑箱,不需要验前知识,不需要观测数据提供概率统计方面的信息;
⑷ 方法简单,易于实现。
对于ARX模型,最小二乘法的估计值具有无偏性、一致性和有效性。是一种非常好的参数估计方法。
实际工程中,被辨识对象是否都可以描述成ARX模型,如果不是,最小二乘法还能不能使用?