计算机应用中存在性证明的代数拓扑方法（附顾险峰教授简历，公号回复“代数拓扑”、“顾险峰”可下载PDF资料，欢迎赞赏转发支持社区）

数据简化DataSimp导读：美国纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授顾险峰《计算机应用中存在性证明的代数拓扑方法》，综述了计算机中的代数拓扑，数据简化社区获顾老师授权转发。附顾险峰教授简历。

用数学方法描述世界、解决问题，是科学发展的核心动力。知识是如何被发现产生出来，以及不同知识间的渊源和启发关系，比记住很多知识更重要。对于人类来说，文字知识是记录人类智能和思想的手段，而非终点。把文字考试作为教育目标，是极其简单粗暴不负责任的。从启迪思想来说，应试是舍本逐末。这方面，愚昧落后的教育者要负责任。AI时代来临，在大多数研究者仍然没有掌握计算机设计制作技术精髓的情况下，很难相信如何跨过计算机科学“弯道超车”步入人工智能科学。我们必须理解计算机、人工智能是如何诞生，背后的科学思想和原理是什幺？加油！只会空想空谈喊口号表忠心可不行，而浪费人财物时间精力投入骗经费的则可耻。（秦陇纪，2018）

 目录

计算机应用中存在性证明的代数拓扑方法（8565字).... 1

01计算机应用中存在性证明的代数拓扑方法汉译文 (4312字).... 1

02纽约石溪大学教授－顾险峰简历 (3856字).... 8

1 求学经历.... 8

2 主要贡献.... 8

3 几何之恋.... 8

4 学术交流.... 11

参考文献(192字).... 12

Appx(626字).数据简化DataSimp社区简介..... 12

01计算机应用中存在性证明的代数拓扑方法汉译文 (4312字)

计算机应用中存在性证明的代数拓扑方法

来源：顾险峰，原创2018-04-16老顾谈几何

“代数拓扑的语言为什么这么古怪？它究竟在说些什么？我们为什么要学习代数拓扑？在计算机方面有什么实际应用吗？”发问的是一位少年，目光澄澈，表情无辜，虽然满脸胶原蛋白，但是已经稍显谢顶的倾向，这是典型的早期男博士生的形象。

这些问题令老顾陷入深思。其实老顾内心很清楚，如果这位同学潜心钻研代数拓扑，那么不出一年，他自己应该可以完全回答前面几个理论问题，假以时日，他自然会找到计算机方面的应用。但是，令老顾纠结的是目前深度学习的方法迅猛发展，几乎颠覆了计算机视觉领域的所有分支，那么是应该让这位同学潜心学习抽象的代数拓扑还是训练他实际的调参能力？

斟酌再三，老顾决定给这位同学讲一下自己亲身经历的一些计算机科学方面的研究项目，这些项目的关键思想来自代数拓扑，再让这位同学自行决定自己未来的道路。

 

人工智能的符号主义

在上一次人工智能的浪潮中，人们普遍认可的方法是符号主义。人类的知识体系一直遵循着古希腊人创立的公理-定理体系，从显而易见的基本事实开始搭建公理体系，用逻辑从公理推演，从而建筑宏伟的理论体系。从欧几里得几何学到牛顿力学，直至广义相对论，都是如此构造。代数拓扑遵循这一框架，从直观的公理体系出发，通过严格的代数运算来推演一切定理。

如果将公理符号化，用逻辑代数，我们可以计算出来理论体系中的所有定理。因此，人们认为智慧在很大层面上就是逻辑推理。人工智能的主要目标之一就是开发各种算法来实现自动推理。这方面的最为成功的领域是机器定理证明，其中最为杰出的代表是吴文俊先生所创立的“吴方法”。这里的基本思想是将条件和结论都表述成多元多项式，然后判断结论多项式是否在条件多项式生成的理想里面。应用吴方法，计算机完全可以自动证明欧几里得几何学中的所有定理。后来，吴先生的高足高晓山研究员推广出“微分结式”方法，从而可以用计算机证明局部微分几何的定理，例如从黎曼度量得到高斯曲率公式。

老顾有幸有机会和高晓山教授、王东明院士请教机器定理证明的问题。他们认为目前机器定理证明依然无法证明整体微分几何定理，例如著名的高斯-博纳定理，即高斯曲率在整个曲面上的积分和欧拉示性数的关系。陈省身先生曾经指出从局部微分几何到整体微分几何的桥梁在于代数拓扑。如果机器定理证明方法能够证明代数拓扑定理，那么整体微分几何定理就可以被计算机自动证明。

 

人工智能的联结主义

目前我们所处的人工智能浪潮以联结主义为主，人们更加注重相关性而非因果性，用联合概率分布来取代传统的定理、定律，并在图像、语音、文本处理等很多方面取得了突破性进展。深度学习方法的理论根基在于统计概率分布的表示和变换。那么，概率分布变换的最为基本而普适的理论自然是最优传输理论（Optimal Mass Transportation Theory）。

图1. 最优传输映射可以实现流形上概率分布的变换。

最优传输理论被广泛应用于生成模型（GenerativeModel），例如近年来非常热门的对抗-生成网络（Generative-AdverserialNetworks）。最优传输理论涉及到蒙日-安培方程（Monge-AmpereEquation），从而有一个非常直观的几何解释：闵可夫斯基（Minkowski）问题和亚历山大（Alexandroff）问题。

图2. Alexandroff问题。

Alexandroff问题如图2所示，给定三维欧氏空间中的一族平面，平面的法向量固定，但是高度未知，这些平面的“上包络”构成一个开放的凸多面体。凸多面体向平面圆盘投影，构成圆盘的剖分，每个胞腔的面积给定，试问凸多面体是否存在，是否唯一。Alexandroff在1950年代证明了对于任意给定的胞腔投影面积，如果这些投影面积之和等于圆盘面积，那么凸多面体存在，并且彼此相差一个垂直平移。

Alexandroff的证明是基于代数拓扑中的区域不变性定理 （invariance of domain）：假设  是连通开集，映射是连续单射，那么也是开集，是拓扑同胚。

Alexandroff的证明思路如下：设平面族为，这里梯度固定，截距变动；平面族的上包络函数为，上包络投影到平面，形成平面的胞腔分解，支撑平面映射到平面的胞腔，胞腔和平面圆盘的交集面积为。那么，所有胞腔面积和等于圆盘面积：；我们要求所有平面的截距和等于0：。如此我们得从截距到投影面积的映射：

显然这个映射是连续映射。由Brunn-Minkowski不等式，可以证明是单射。由区域不变性定理，我们知道是满射。因此，任给投影面积，存在截距，，即存在满足要求的凸多面体。

 

共形模问题

图3. 共形变换：狭缝映射。

图3显示了共形变换中的狭缝映射（slit mapping）。给定一个带黎曼度量的曲面，亏格为0，带有多个边界，则存在一个共形映射，将曲面映到单位平面环带，两条边界映成内圆和外圆，其他边界映成同心圆弧（狭缝），并且这种映射彼此相差一个旋转。这种映射的存在性依赖于Hodge理论：黎曼流形上椭圆型偏微分方程解的空间维数等于相应上同调群的维数。

图4. 曲面上的全纯微分。

假设共形狭缝映射存在，那么映射的微分是曲面上的全纯微分形式（holomorphic differential），全纯微分的实部满足曲面上椭圆型PDE，每个上同调类中存在唯一的解。这里，存在性依赖于曲面的上同调群。同调群是代数拓扑的基本概念。曾经有一位清华的访问学生学会了共形狭缝映射方法，巧妙地用于图像矢量化工作，后来成为一名英国大学的教授。

图5. 圆域映射。

图5显示了另外一种典范映射，圆域映射，就是将0亏格多联通曲面映到单位圆环上，每条边界映射欧氏圆。我们需要证明这种映射的存在性和唯一性。由狭缝映射的存在性，我们知道曲面可以映到狭缝区域，如果每个狭缝区域能够贡献映射到平面圆域，那么定理得证。我们考察从圆域到狭缝区域的共形映射：

,

在圆域中，每个小圆用圆心和半径来表示；在狭缝域中，每条狭缝用半径，起始和终止角度来表示，我们用表示内圆半径，等到映射

如果两个圆域之间存在共形映射，我们将圆域关于其内部边界反演，根据Schwartz反射原理（Schwartz Reflection Principle），我们可以将共形映射拓展到反射像上。重复反演过程，直至填满整个圆盘，那么延拓后的共形映射必为恒同映射，这意味着初始的两个圆域重合。由此，我们可以证明从圆域到狭缝域的映射φ为单射。不难证明φ也是连续映射。由区域不变性定理，φ为满射。任何一个狭缝区域，可以映成圆域。圆域共形映射定理得证。

 

离散黎奇流

黎奇流方法是一种强有力的计算方法，给定目标曲率，它可以算出相应的黎曼度量。假设给黎曼度量曲面(S,g)，黎曼度量诱导的高斯曲率为K:S->R，满足高斯-博纳定理

,

设共形因子函数为λ:S->R，黎曼度量变换为g~:=e^(2λ) * g，诱导的曲率为K~:S->R，那么它们满足Yamabe方程

,

共形因子可以由Ricci 流方法算出，

。

在计算机应用中，我们用离散的三角网格来逼近曲面，用边长来定义离散黎曼度量，用角欠（angle deficit，即每个顶点周角和与平面周角和之差差）来定义离散高斯曲率。我们在顶点集合上定义离散共形因子函数，离散度量的共形变换定义为l(ij)<-e(λi)β(ij)e(λj)。离散Ricci流和连续Ricci流定义一致。

在实际应用中，我们发现了严重的问题。在流的过程中，经常会出现某些三角形退化，其边长的三角形不等式不再成立，Ricci流无以为继，以失败而告终。那么哪些目标曲率能够达到，流过去的路径是否存在，如何设计这种路径，这些问题必须得到完满回答，否则算法不具有实用价值。后来经过大量实验，我们发现原来思想上的有一个误区，那就是保持曲面的组合结构不变，如果我们容许在流的过程中三角剖分动态变化，始终和当前的度量保持Delaunay关系，那么离散Ricci流从来不会退化。但是，我们需要严格证明在这种流下，算法能够到达目标曲率，换言之，我们需要证明离散黎奇流解的存在性。

这一证明非常困难，因为从初始黎曼度量有无穷多种路径到达目标度量，依循不同的路径，三角剖分非发生复杂的变化，我们需要证明目标度量下所有几何量和组合结构和路径选取无关。最终我们要证明从离散共形因子λ:V->R到离散高斯曲率K:V->R，

是连续单射，根据区域不变定理，这个映射是满射，因此对于任意目标曲率满足高斯-博纳条件，离散共形度量存在。

图6. 单值化定理。

这一定理可以推出离散单值化定理，即所有曲面可以配备三种标准度量中的一种：球面，欧氏或者双曲度量。

 

直觉与反直觉

通过上面的几个例子，我们看到代数拓扑是存在性证明的强有力的工具，对于很多非常基本的几何算法，其解的存在性和计算稳定性都需要代数拓扑作为理论支撑。在科研中，我们频繁使用区域不变定理，这一定理貌似简单，但是其证明非常艰深，并且这种艰深是来自深刻概念上的艰深。这一定理来自若当分离定理（Jordan Separation theorem），若当定理是老顾见过的最为“大智若愚”的定理。

图7. 若当曲线定理。

如图7所示，若当曲线定理（Jordan Curve Theorem）说平面上一条连续封闭简单曲线（无自交点）将平面分成两个分离的连通子集，内部和外部。每个子集自身都是道路连通的，但是彼此分离。这一定理非常符合人类直觉，以至于我们觉得它是不辩自明的。我们无法确认这一事实是一条定理，还是一条公理。人类也是经历了漫长岁月，才意识到这一事实需要严格证明，又花费了漫长岁月才真正给出严格的证明。那么，我们为什么需要用如此晦涩的语言来证明如此显而易见的事实呢？难道是出于数学家的孤芳自赏吗？

真正的原因在于人类的直觉并不可靠，很多貌似合理的论断都是似是而非的谬论。另一方面，人类在拓扑方面的直觉相对有限，高维情形很难建立起来想像力，唯一能够把握的只有严格的数学推导。比如，我们观察图7，Jordan曲线将平面分成道路连通的两部分，每一部分都是单连通的，亦即在曲线内部（或者外部）的任意封闭曲线都可以在内部（或者外部）逐渐缩成一个点。这一观察也非常符合直觉。这被称为是Schonflies定理。但是当我们将这两个结论推向高维的时候，我们发现直觉起不了太大作用，Jordan分离定理可以被推广，但是Schonflies定理在三维的时候就已经失效。

那么，我们为什么这么重视如此反直觉的拓扑定理？因为这个古怪的定理可以推出区域不变性定理，而区域不变性定理可以证明大量计算机算法解的存在性，是计算机科学不可或缺的理论基础。

 

小结

代数拓扑非常抽象，但是深邃优美，为工程应用提供了理论基础。从增强学术修养角度而言，也是值得学习。代数拓扑的思想手法对于研究符号主义的人工智能非常有意义，她为我们提供了一个不同的视角来思考如何定义智能。

目前计算机技术发展非常迅猛，因此在一定程度上理论分析相对滞后。很多学生忽视理论修养的培养，将有限的精力全部投入到无限的调参上去，这种学习方法值得商榷。例如，在Wasserstein GAN中，有一个广为人知的困难：如果概率分布的支集（support）具有多个连通分支，那么GAN的训练收敛非常困难。很多学生百折不挠地调整参数，试图解决这一问题。根据我们的理论结果，在这种情形下，最优传输映射无法被深度神经网络表示，换言之，在DNN的框架下，解并不存在，因此工程上无论如何努力，也弥补不了理论的缺陷。

看着少年渐渐深入深思，老顾相信他会潜心研究代数拓扑的。老顾知道他的精神必将会经历一次深刻的洗礼。希望未来有一天，他能够用代数拓扑给出某个算法解的存在性证明 ......

纽约石溪大学教授－顾险峰2018/4/16

 

02纽约石溪大学教授－顾险峰简历 (3856字)

顾险峰

图1 老顾近照：顾险峰

顾险峰，男，美国纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授^[2] 。

中文名：顾险峰，职业：大学教授，毕业院校：哈佛大学。

1 求学经历

顾险峰，1989年考入清华大学计算机科学与技术系，攻读基础理论方向，班主任黄连生教授。1992年获得清华大学特等奖学金。后于美国哈佛大学获得计算机博士学位，师从国际著名微分几何大师丘成桐先生。^[3]目前为美国纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授。

 

2主要贡献

曾获美国国家自然科学基金CAREER奖，中国国家自然科学基金海外杰出青年奖（与胡事民教授合作），“华人菲尔茨奖”：晨兴应用数学金奖^[2] 。丘成桐先生和顾险峰博士团队，将微分几何，代数拓扑，黎曼面理论，偏微分方程与计算机科学相结合，创立跨领域学科“计算共形几何”广泛应用于计算机图形学，计算机视觉，几何建模，无线传感器网络，医学图像等领域。目前已经发表二百篇余篇国际论文，学术专著包括“Computational Conformal Geometry”（计算共形几何），“Ricci Flow for Surface Registration and Shape Analysis”^[2]等。

 

3 几何之恋

内容来自：清华大学计算机科学与技术系，地址：北京市海淀区清华园1号，邮编100084。

几何之恋——顾险峰

顾险峰（1989级系友）

图3 国际著名微分几何大师、菲尔茨奖得主丘成桐先生（左）和晨星集团主席陈乐宗先生（右）共同为顾险峰颁奖

2013年7月14日，台北圆山饭店，第六届世界华人数学家大会隆重召开。丘成桐先生郑重宣布华人数学最高奖-晨兴数学奖的得主。每三年颁发一次的晨星数学奖用于表彰全世界的杰出华人数学家，以鼓励他们对于数学真理的不懈追求。纯粹数学的特别金奖毫无悬念地授予了张益唐，以表彰他在孪生素数问题上的石破天惊的突破。当丘先生宣布应用数学的金奖得主时，我几乎无法相信自己的耳朵，因为他念出的是我的名字。晨星讲评选委员会一致认为，我的工作结合了纯粹数学和计算机科学，创立了一个新兴的交叉领域：“计算共形几何”，并将共形几何应用于工程和医疗方面的诸多领域，在理论和应用方面都取得了重大进展。当我从丘先生和晨星集团的陈乐宗主席手中接过金牌的时候，我心中非常清醒地认识到，这只是对我过去二十年工作的鼓励，身为计算机科学家而获得数学金奖，我的确走了一条与众不同的漫长之路，但是未来的探索之路将会更加漫长。

1989年初秋，我来到了梦寐以求的清华园，班主任黄连生老师当天就在宿舍中召开了第一次班会。他开门见山就说“人类以前所有的发明创造都是人手的延长，计算机是历史上人脑的延长。” 计算机的出现必将深刻地改变人类社会和历史。回顾二十年来所经历的计算机带来的革命，的确是翻天覆地，沧海桑田。虽然从未成为科技浪潮的弄潮儿，但是也时时处处感受到计算机技术发展的狂潮，金戈铁马，无坚不摧！黄老师告诉我们，计95班是基础理论班，这些学生都是精心筛选出来的，班中的学生包括奥林匹克数学竞赛的国际金牌得主，奥林匹克物理竞赛的佼佼者，各省高考的状元，榜眼和探花，北京市的高考前五名。我们的训练自然包括纯粹数学和计算机科学两个系的主要课程。

很快，我深刻地体会了巨大的差距和压力。我们和数学系同学一同学习陈天权老师讲授的数学分析。当时所用的教材是莫斯科大学数学系卓里奇的数学分析，起点很高。我们头三个月用来学习实数理论，学到最后我已经不知道什么是数了。我无法理解为什么最为基本的实数需要用有理数柯西列的等价类来定义，为什么实数的存在性需要连续统的公理假设。多年之后，我才逐渐理解这些貌似玄虚的哲学问题，实际上奠定了数学大厦的基础。十多年后，当我学习泛函分析和偏微分方程理论的时候，我才深深理解空间完备化的重要性。我记得陈老师讲解了函数的芽，芽的层，我们如堕云雾，不知所云。多年之后，我才知晓现代数学很多是用层的上同调的语言写就。同时，卓里奇用很多数学史上能够成为里程碑的定理的证明作为习题，其难度可想而知。第一次考试，我们全军覆没。但是，余华同学几乎满分，被我们惊为天人。余华却谦逊的笑说“我暑假里自学了一些。”当时，陈老师不停地鼓励大家， “你们只是万里长征的第一步，坚持下去必有收获。”奥数金牌得主蒋步星同学花费很多时间给大家讲解，帮助大家消化理解。黄老师也建议大家多找参考书来自学：“数学书越薄越难读，数学书越厚越容易。”于是，我选了一本最厚的北师大的数学分析。果不其然，这本书将很多艰深理论变得深入浅出，通俗易懂。很快，我们对于数学渐渐的入了门，并且日渐欣赏并陶醉其中。记得在我二十岁生日那天，我跟随刘维尔的途径证明了超越数的存在，（所谓超越数就是一个实数，它不是任何有理系数多项式方程的根。）意在超越自我。

后来，我们又开始跟随许以超老师学习高等代数。陈老师的风格是内力雄浑，对难题当头击破；许老师轻灵飘逸，四两拔千斤。许老师的课程很快使我学到了变化群下不变量的几何思想。我记得理论教研组的卢开澄老师非常推崇伽罗华理论。在一次计算理论课上，当卢教授讲到伽罗华二十出头为了爱情而决斗而死时，大发感慨道：“他着什么急嘛？”，惹得全年级上百位同学哄堂大笑。到我们后来学习了抽象代数理论，当时蒋步星说了一句一针见血的话：“求根公式的存在性等价于对称群中偶次对换群的单性。”令我们醍醐灌顶。

在大三的时候，有幸聆听了陈省身先生的一次讲座，彻底地改变了我的事业轨迹。陈先生一开始就批评清华，“偌大的清华，居然无人讲拓扑。”然后又从三角形外角和讲起，直到活动标法，微分形式上同调，纤维丛的示性类。虽然我无法完全理解，但是对于微分几何，代数拓扑，无限向往。有一次，在图书馆淘汰的数目中找到一本江泽涵的“不动点类理论”。这本书用初等的语言和工具讲解了代数拓扑的理论和方法，及其在不动点理论中的应用。其中，代数拓扑的基本定理说任何流形都可以用单纯复形任意精度的逼近，实际上近年来兴盛起来的所谓数字几何就是依循这一途径发展而来。当时，我产生了一个疑虑：所有拓扑相同的流形直接都存在拓扑同胚，但是如何算出这种同胚呢？在过去的二十年中，这一问题一直在我心头萦绕。

在本科高年级，我们的学习重心逐渐向计算机科学倾斜。很快我就意识到数学在计算机科学中的重要地位。比如，我们系张钹教授杰出的工作是用不动点理论来解决机械手拓扑路径规划问题。有一阶段，C++语言兴起，每晚的卧谈会上，大家都如火如荼地探讨面向对象的编程。蒋步星轻描淡写的一句话令我铭记至今：“所谓类就是范畴学中的范畴。”

后来出国深造，有幸在哈佛大学计算机方向攻读博士，并追随丘成桐先生学习几何。我选修了一位图灵奖得主Michael Rabin的课程。他证明传统的NP问题，大合数素因子分解问题，用概率算法是多项式可解的。而其中最为核心的方法来自有限域论。这再度使我坚信纯粹数学在计算机科学中的威力。在我为博士论文选题的时候，恰逢计算机图形卡的兴起，这使得所谓曲面参数化成为图形学的中心论题之一。当时一些学者已经提出了单连通带边界曲面的保角参数化方法。对于拓扑复杂的曲面，曲面需要先被分割成许多单连通的碎片来处理。我突然想到陈省身将局部微分几何推广到全局的方法，因而意识到曲面参数化应该存在全局方法。丘先生告诉我而这一方法的理论基础在于黎曼面理论和指标定理。

黎曼面理论的精髓之一在于所谓的单值化定理：大千世界，各种形状千变万化，但却能万宗归一。所有的曲面都可以保角地变换为三种标准曲面：球面，平面或双曲面。这一大一统的理论令我久久赞叹，深深迷恋。在那个年代，黎曼面理论只是一门抽象的纯粹数学理论，根本不存在计算方法。发展一套切实可行的计算方法来实现曲面的单值化成为我难以忘却的梦想。

经过了将近二十年的探索，和众多世界一流的数学家合作，我终于实现了这一梦想，从而将黎曼面理论转换为一门计算科学。这一计算方法的核心之一恰是用于证明庞加莱猜测的里奇曲率流。我用几何的方法理解了问题，又用计算机的方法将抽象变成现实。当在人类的历史上，一种数百年来只在数学家的脑海里出现过的“几何实在”终于由我的算法所揭示，而第一次显现在我的电脑屏幕上的时候，我终于体会到了丘成桐先生所说的“天人合一”的境界。一切挫折苦楚，一切尘世喧嚣，刹那间都微不足道了。

二十年后回头再想，我之所以能够用通过两种途径来触摸和感受亘古不变的自然真理，这一切完全归功于在清华所受的教育。深深地感谢清华的老师们和同学们，特别是理论教研组和数学系的各位教授，他们教会我几何和计算机的知识和技巧，更教会我做人的道理。

更为深邃的自然真理依然横亘在眼前，前方的道路愈加艰辛。但是我无所畏惧，因为我时刻铭记着清华的校训：“君子自强不息”！

图4 计算共形几何实例：曲面单值化，由离散里奇曲率流算出。

4 学术交流

内容来自：合肥工业大学新闻文化网《顾险峰教授应邀来我校作报告》发布日期2015-11-02。

11月1日，美国纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授顾险峰应邀来校，为我校师生作了题为“Computational conformal geometry, theory, algorithm and applications”的报告。报告会由数学学院党委副书记、副院长江平主持。数学学院2014级、2015级全体学生到场聆听报告。

报告会上，顾险峰教授结合自身经历，分析了当前计算机在国际发展过程中前进的契机。他将专业知识与实际应用相结合，深入浅出地向同学们展示了他对计算机共形几何的研究，并通过3D动画、人脸识别等例子向同学们详细介绍了计算机共形几何的理论、算法和应用。最后，他还分享了自己与数学的不解之缘，鼓励同学们努力学习数学专业知识，建议同学们脚踏实地学习理论知识，为将来的发展奠定基础。报告会后，顾教授对同学们提出的问题进行了详细解答。^[3]

图5 房虹姣/文  房虹姣/图，编辑：刘红平

词条统计：浏览8029次，编辑2次历史版本，最近更新：2018-01-14，创建者：赵88heaven。[4]

-END-

 

参考文献(192字)

1. 顾险峰．计算机应用中存在性证明的代数拓扑方法．[EB/OL] https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzA3NTM4MzY1Mg==&mid=2650814376&idx=1&sn=dbf99314b1cd933815b912af6c601890，2018-04-16．

2. 清华大学官网．几何之恋——顾险峰 - 清华大学计算机科学与技术系．[EB/OL]http://www.tsinghua.edu.cn/publish/cs/8207/2014/20140305132115249838379/20140305132115249838379_.html，2014-03-05．

3. 合肥工业大学新闻文化网．顾险峰教授应邀来我校作报告．[EB/OL]http://xq70.hfut.edu.cn/index.php?m=content&c=index&a=show&catid=161&id=29037，2015-11-02．

4. 百度百科．顾险峰．[EB/OL]https://baike.baidu.com/item/%E9%A1%BE%E9%99%A9%E5%B3%B0/，2018-01-14．

x.秦陇纪．数据科学与大数据技术专业概论；人工智能研究现状及教育应用；纯文本数据神经网络训练；大数据简化之技术体系[EB/OL]．数据简化DataSimp（微信公众号）http://www.datasimp.org，2017-06-06．

 

计算机应用中存在性证明的代数拓扑方法（8565字)

秦陇纪

简介：计算机应用中存在性证明的代数拓扑方法。(公号回复“代数拓扑”、“顾险峰”，文末“阅读原文”可下载12图4码11k字13页PDF) 蓝色链接“数据简化DataSimp”关注后下方菜单项有文章分类页。作者：顾险峰。来源：顾险峰教授授权微信群聊公号，引文出处请看参考文献。版权声明：科普文章仅供学习研究，公开资料©版权归原作者，请勿用于商业非法目的。如出处有误或侵权，请联系沟通、授权或删除事宜、投稿邮箱[email protected]。欢迎转发：“数据简化DataSimp、科学Sciences、知识简化”新媒体聚集专业领域一线研究员；研究技术时也传播知识、专业视角解释和普及科学现象和原理，展现自然社会生活之科学ose。秦陇纪发起未覆盖各领域，期待您参与~

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