最优化方法:六、约束最优化方法
主要参考书目:
- 最优化方法及其应用/郭科,陈聆,魏友华.-北京:高等教育出版社,2007.7(2013.7重印)
前面我们已经讨论无约束问题的最优化方法,但实际碰到的问题常常是存在约束的。一般的约束最优化问题的数学模型为:
解决约束问题一般有两种思路,一是通过“罚函数”把约束问题转化为无约束问题解决;二则是构造某种迭代过程使之不能越出可行域。
1、外点罚函数法
- 基本思路
构造一函数为
该方法之所以叫做外点法,是因为在很多情况下(不是所有情况),当惩罚因子比较小的时候,最优解会落在可行域之外,随着惩罚因子的增加,向可行域内部移动,也就是说迭代过程中最优解一直在可行域之外。 - 特点
该方法实现了有约束问题向无约束问题的转化,但存在着一些问题:
(1)惩罚因子选的小会使最优解更容易落在可行域外,而惩罚因子选的大又会使函数的Hesse矩阵性质变坏。
(2)迭代过程中得到的解常常在可行域之外,难以观察到内点的变化情况也无法求得近似最优解。
2、内点罚函数法
- 基本思路
对于纯不等式约束问题,为使得迭代过程中解一直在可行域内。我们通过罚函数在可行域边界处构造一个“壁垒”使得迭代过程中解不能离开可行域。
- 特点
该方法保证了迭代过程中得到的解一直处于可行域内,但仍然面临过三个问题:
(1)需要找到一个可行的初始点。
(2)如果搜索步长过大,有可能一步跨过壁垒,所以在搜索过程中应适当控制步长,防止该情况发生。
(3)无法解决等式约束的问题。
3、混合罚函数法
- 基本思路
为解决内点法不能应对等式约束的问题,采用以下混合罚函数: - 外插技术
的最优解可以看做的函数,当我们得到了前几点的后,可以通过外插法估计下一个最优值,并把该点当做下一次迭代的初始点,以加快收敛速度。
通常使用两点外插或者三点外插。
4、约束坐标轮换法
- 基本思路
与无约束优化问题的坐标轮换法类似,但是搜索时不再使用一般的以为搜索方法,而采用以下规则:
该方法可以引入一个步长缩放因子,当在t步长下的搜索已满足该步长下的终止限,而步长并不足够下,则缩短步长进行下一轮搜索。 - 特点
该方法算法简单明了,但存在以下问题:
(1)收敛较慢;
(2)可能出现“死点”,导致输出伪最优点;
(3)可能出现在某几个点之间循环的现象。
5、复合型法
- 基本思路
与单纯形法类似,但该方法使用的是顶点更多的复合型。(顶点可以使降维的可能性减小,而且由于约束边界的限制,使用单纯形容易“卡死”在某个地方,而复合型则提供了更多可能的搜索方向) - 具体细节
(1)生成初始复合型
(2)跑出可行域的点一律认为是最坏的点。
(3)如果无法利用最坏点搜索(即步长t降的很小仍不符合要求)则改用次坏点替代最坏点,并以此类推。
(4)关于复合型的顶点数,当时,一般取,时一般取。 - 特点
属于直接法,对目标函数要求少。
但其收敛速度较慢,而且不能应对等式约束。