向量

1.向量

1.1向量的性质

n维向量表示为V=<V1,V2,...Vn>

也可以用一个n行单列的矩阵表示，即

也可以用列矩阵的转置矩阵表示，即

向量的运算满足加法交换律、加法分配律

向量的模，又称为向量的范数或者长度记作||V||

向量的规格化，就是将向量V的模变为单位长度，即V乘以1/||V||

向量的性质：

1.2 点积

两个向量做点积的结果等于向量的每个对应的分量的乘积之和。最终结果是个标量。

也可以用矩阵乘积的形式：

向量点积的几何意义为，P向量在Q向量方向上投影长度。结果也表示这两个向量指向同一方向的接近程度：正号为同一侧（锐角），负号为相反的一侧（钝角）。

向量点积的性质为：满足交换律、分配律，以及其他

下面推导一个公式：

1.P、Q点积

2.得到

3.两边同时乘以Q/||Q||单位向量,得到P到向量Q的投影

4.P相对于Q的垂直分量，是用P减去P的垂直分量

即，可以将P向量分解为两个向量：一个与Q平行，一个与Q垂直

P到Q的投影是一个线性变换的过程，可以用公式表示为

1.3 叉积

叉积的结果是得到一个新的向量，并且新向量垂直于两个旧向量所在的平面。

因此，在计算机图形学中，若已知曲面上一点的两个不同的切向量，可以通过两个切向量的叉积，获得该点处的法向量。

叉积的结果为：

为了方便记忆，用伪行列式表示：

其中，i,j,k分别为平行于x轴，y轴，z轴的单位向量

通过计算行列式，得到：

另外，P X Q也可以用线性变换形式表示：

推广一下，任意给定的P、Q、R向量，（PXQ)R的行列式表示为：

由于（PXQ)P=0,(PXQ)Q=0，所以，当（PXQ)R=0是，表示R是与P,Q在同一平面的，即R可以被P和Q线性表示

向量的点乘与叉乘的几何意义

　　很惭愧，作为一名学生，向量的最基本的知识全忘了，在最近做计算机图形学实验时，需要用到向量计算时，发现自己寸步难行。只好赶快百度”预习”一下。

向量的点乘:a * b

公式：a * b = |a| * |b| * cosθ 
点乘又叫向量的内积、数量积，是一个向量和它在另一个向量上的投影的长度的乘积；是标量。 
点乘反映着两个向量的“相似度”，两个向量越“相似”，它们的点乘越大。

向量的叉乘：a ∧ b

a ∧ b = |a| * |b| * sinθ 
向量积被定义为： 
模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。） 
方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。c = a ∧ b） 
 
特别的，在二维中，两个向量的向量积的模的绝对值等于由这两天向量组成的平行四边形的面积。