向量的运算

向量

有大小，有方向的量，记为$\vec{a}$a

基本运算

向量的加法

首尾相连法则(当然还有其他名字:平行四边形法则、三角形法则)

如图$\vec{a}+\vec{b}$a+b就相当于将$\vec{b}$b的起点平移到$\vec{a}$a的终点($\vec{a}、\vec{b}$a、b以原点为起点)，得到$\vec{b'}$b′，就如下图:

$\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$a+b=c，因为它们作用效果一样，这就是首尾相连法则，即由$\vec{a}$a的起点，到$\vec{b'}$b′的终点。

向量的积

数量积

即一个向量与一个标量相乘，即数乘。
如下图:

代数表示为:$\lambda\vec{a}$λa

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内积

两个向量点乘，代数表示为:$\vec{a}\cdot \vec{b}=\mid\vec{a}\mid\mid\vec{b}\mid cos\theta$a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ

意义为:$\vec{a}$a的大小与$\vec{b}$b在$\vec{a}$a上的投影的大小的乘积

乘积为标量。

若$\vec{a}$a为$(x_1,y_1)$(x1​,y1​),$\vec{b}$b为$(x_2,y_2)$(x2​,y2​)

则$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1*x_2+y_1*y_2$a⋅b=x1​∗x2​+y1​∗y2​

具体证明略，详见$60$60课时学高中数学。

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外积

两个向量叉乘为外积，外积是一个向量。

$\vec{a}\times\vec{b}=\mid\vec{a}\mid\mid\vec{b}\mid sin\theta=x_1*y_2-x_2*y_1$a×b=∣a∣∣b∣sinθ=x1​∗y2​−x2​∗y1​

其中$\theta$θ表示$\vec{a}$a沿着逆时针方向旋转到$\vec{b}$b的度数。

这里其实有点问题，外积是一个向量，但运算结果是一个标量(我解决不了)，但是在计算几何中，用到的往往是关于与向量类似的运算，所以理解就好了。在做题中，我们仅仅只是用(伪外积)去求一个线段到另外一个线段，是如何旋转(度数严格小于$180°$180°)，从而确定线段是顺时针还是逆时针旋转，或者用来去掉重复的面积的。

这点应该要清楚理解。

而不是

$\mid\vec{a}\times\vec{b}\mid=\mid\vec{a}\mid\mid\vec{b}\mid sin\theta=x_1*y_2-x_2*y_1$∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinθ=x1​∗y2​−x2​∗y1​

其中$\theta$θ表示$\vec{a}$a与$\vec{b}$b的夹角($0\le\theta\le 180°$0≤θ≤180°)度数。

证明不知道。