概率论与数理统计 | (4) 二元随机变量Part One
目录
1. 二元随机变量、离散型随机变量分布律
- 问题的提出
- 二元随机变量
设E是一个随机试验，样本空间S={e};设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)称为二元随机变量或二维随机向量。
- 二元离散型随机变量
若二元随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对，则称(X,Y)是二元离散型随机变量。
- 二元离散型随机变量的联合概率分布律
设(X,Y)所有可能取值为,称
为二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布律。也可以简称(X,Y)的分布律。可以用下表表示：
- 联合分布律的性质
- 例题
2. 二元离散型随机变量边际分布律与条件分布律
- 边际分布
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为。
X，Y的边际分布律为：
注意：记号表示由
关于j求和后得到的；记号
表示由
关于i求和后得到的；
- 例题
以上两表中，联合分布律不同，但它们的边际分布律相同; 这就说明了，仅由边际分布一般不能得到联合分布。
- 条件分布
对于两个事件A,B，若P(A)>0,可以考虑条件概率P(B|A),对于二元离散型随机变量(X,Y)，设其分布律为,若
，考虑条件概率
,由条件概率公式可得:
当X 取遍所有可能的值，就得到了条件分布律.
设( X , Y )是二元离散型随机变量，对于固定的,若
,则称：
为在条件下，随机变量X的条件分布律；
同理，对于固定的,若
,则称：
为在条件下，随机变量Y的条件分布律；
- 例题
3. 二元随机变量分布函数、边际分布函数及条件分布函数
- 联合分布函数
设( X , Y )是二元随机变量，对于任意 实数x, y，二元函数：
称为二元随机变量( X , Y )的联合分布函数。
- 分布函数F(x,y)的性质
- 边际分布函数
二元随机变量(X,Y)作为整体，有其联合分布函数,X和Y也有它们自己的分布函数，分别记为
并称他们为边际分布函数。
- 条件分布函数
若P(Y=y)>0,则在Y = y条件下，X的条件分布函数为:
若Y为离散随机变量，就可满足P(Y=y)>0,但当Y为连续随机变量时，显然P(Y=y)=0,所以这时不能这样定义条件分布函数。
- 例题
4. 二元连续型随机变量、联合概率密度
- 联合概率密度
对于二元随机变量（X ,Y ）的分布函数F (x, y), 如果存在非负函数f (x, y)，使对于任意x, y，有：
称（X ,Y ）为二元连续型随机变量.并称f(x, y)为二元随机变量(X ,Y) 的（联合）概率密度（函数）。
性质：
- 例题