Knowledge points
1.条件概率
设A,B是两个事件,且P(A)>0,称
P(B∣A)=P(A)P(AB)
为在事件发生的条件下事件发生的条件概率.
2.乘法定理
设P(A)>0,则有
P(AB)=P(B∣A)P(A)
上式称为乘法公式.还可以推广到多种情况,例如,设A,B,C为事件,且P(AB)>0,则有
P(ABC) = P(C∣AB)P(B∣A)P(A).
3.全概率公式
设试验E的样本空间为S,A为E的事件,B1,B2,…,Bn为S的一个划分,且 P(Bi)>0 (i = 1,2,…n) 则
P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+...+P(A∣Bn)P(Bn).
上式称为全概率公式.
4.贝叶斯公式
设试验E的样本空间为S.A为E的事件,B1,B2,…,Bn为S的一个划分,且 P(A)>0,P(Bi)>0 (i = 1,2,…n) 则
P(Bi∣A)=P(A)P(BiA)=∑j=1nP(A∣Bj)P(Bj)P(A∣Bi)P(Bi),i=1,2,⋯,n
上式称为贝叶斯公式.
5.独立性
设A,B是两个事件,如果满足等式
P(AB)=P(A)P(B)
则称事件A,B相互独立,简称A,B独立.
Question
例1·系统可靠性问题
试分别求以下两个系统的可靠性:
(1)设有4个独立工作的元件1,2,3,4.它们的可靠性分别为p1,p2,p3,p4,将它们按图(1)的方式连接(称为并串联系统);
思路
可看作两个相互独立的系统:1−−−>2−−−>31−−−>4
以Ai表示事件“第i个元件正常工作”,i=1,2,3,4,以A表示”系统正常工作“,因为各元件相互独立且有P(Ai)=Pi(i=1,2,3,4),所以有:
A=A1A2A3⋃A1A4
由加法公式及各元件工作的独立性得:
P(A)=P(A1A2A3)+P(A1A4)−P[(A1A2A3)⋂(A1A4)]
=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A4)−P(A1A2A3A4)
Answer:
P(A)=p1p4+p1p2p3−p1p2p3p4
(2)设有5个独立工作的元件1,2,3,4,5.它们的可靠性均为p,将它们按图(2)的方式连接(称为桥式系统).
思路
将元件3分为正常工作和失效两种情况,就可以将本题简化为第一问的并串联系统,由全概率公式:
P(A)=P(A∣A3)P(A3)+P(A∣A3)(P(A3)
当系统正常工作时,系统简化成下列图(1)的情况:
此时P(A∣A3)=P[(A1⋃A4)(A2⋃A5)]
当系统失效时,系统简化成下列图(2)的情况:
此时P(A∣A3)=P(A1A2⋃A4A5)
中间运算过程略去.
Answer:
P(A)=2p2+2p3−5p4+2p5
例2·三门问题
假设你正在参加一个游戏节目.你看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,另外两扇门后面则.各藏有一只山羊.选中后面有车的那扇门可赢得该汽车.你选定了一扇门,但没去打开它.知道门后面有什么的主持人打开了另一扇后面有山羊的门.主持人问你要不要换另一扇仍然关上的门.问题是:换另一扇门会增加你赢得汽车的概率吗?
必要的假设:
1.你选定了1号门,主持人打开了3号门;
2.汽车等可能放在某个门后面;
3.如果你选的1号门后面是羊,那么主持人肯定打开另一扇后面是羊的门;
4.如果你选的1号门后面是车,那么主持人以概率p打开3号门,以概率1−p打开2号门,这里0<=p<=1
思路
令Bi= {i号门后面是车},i=1,2,3,A= {主持人打开3号门},则
P(B1)=P(B12)=P(B3)=1/3,P(A∣B1)=p,P(A∣B2)=1,P(A∣B3)=0
由贝叶斯公式,不换能得到汽车的概率为
P(B1∣A)=P(B1)P(A∣B1)+P(B2)P(A∣B2)+P(B3)P(A∣B3)P(B1)P(A∣B1)=1+pp
因而换能得到汽车的概率为
1+p1
Answer:
1.当p<1时,换后得到汽车的概率更大;
2.当p=时,换与不换得到汽车的概率都是21
3.特别地当p=0时,如果1号门后面是车,则主持人一定打开2号门.所以如果主持人打开3号门,则意味着车一定在2号门后面,换能保证一定得到汽车.