概率与数理统计学习总结二
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试验:
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验
随机试验
可在相同的条件下重复试验每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结果
样本空间
随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点,用ω表示样本空间的分类
离散样本空间:
样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等
无穷样本空间:
样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}试验前不能确定会出现哪个结果
随机事件
样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称这一事件发生基本事件:由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
样本空间S是自身的子集,在每次试验中总是发生的,称为必然事件。
空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中都不发生,称为不可能事件。
事件间的关系与事件的运算
包含关系和相等关系
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记作AB.若A⊂ B且A⊃B, 即A=B, 则称A与B相等.
和事件
积事件
事件A∩ B={x|x ∈ A 且 x ∈B}称A与B的积,即事件A与B同时发生. A∩ B 可简记为AB.
类似地, 事件 为可列个事件A1, A2, ...的积事件.
类似地, 事件 为可列个事件A1, A2, ...的积事件.
差事件
事件A-B={x|x∈A且x∉B} 称为A与B的差. 当且仅当A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
显然: A-A=∅, A- ∅=A, A-S=∅
A-B=A-AB
事件的互不相容(互斥)
对立事件(逆事件)
事件的运算律
等可能概型的两个特点
样本空间中的元素只有有限个试验中每个基本事件发生的可能性相同
概率的古典定义
对于古典概型, 样本空间S={ω1,ω2, … ,ωn}, 设事件A包含S的 k 个样本点,则事件A的概率定义为概率公理化定义
1.定义: 设S是样本空间, E是随机试验. 对于E的每个事件A对应一个实数P(A), 称为事件 A的概率, 其中集合函数P(.)满足下列条件:
(1) 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性)
(2) P(S)=1;(规范性)
(3) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有
P(A1 ∪ A2 ∪ …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
P(A1 ∪ A2 ∪ …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)