凸优化学习[一] | 预备知识：凸函数

对于任意 $x_1,x_2\in \mathbb{R} ^n$x1​,x2​∈Rn ，且满足$\alpha + \beta = 1,\alpha \geqslant 0,\beta \geqslant 0$α+β=1,α⩾0,β⩾0，令下式成立的$f(x)$f(x)称为凸函数。
$f(\alpha x_1+\beta x_2)\leqslant\alpha f(x_1)+\beta f(x_2)$f(αx1​+βx2​)⩽αf(x1​)+βf(x2​)
证明如下：

如图所示，连接 $(x_1,f(x_1))$(x1​,f(x1​))，$(x_2,f(x_2))$(x2​,f(x2​))，得该直线得表达式为
$y-f(x_1) = \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}(x-x_1)$y−f(x1​)=x1​−x2​f(x1​)−f(x2​)​(x−x1​)
令$\beta = 1-\alpha$β=1−α，将$x = \alpha f(x_1) + \beta f(x_2)$x=αf(x1​)+βf(x2​)带入上式得
$y = \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}[\alpha(x_1-x_2)+(x_2-x_1)]+f(x_1)$y=x1​−x2​f(x1​)−f(x2​)​[α(x1​−x2​)+(x2​−x1​)]+f(x1​)
$=\alpha f(x_1) + (1-\alpha)f(x_2)$=αf(x1​)+(1−α)f(x2​)
$=\alpha f(x_1) + \beta f(x_2)$=αf(x1​)+βf(x2​)
可见，满足上述性质的函数，都是凸函数。