深度神经网络（DNN）损失函数和**函数的选择
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在深度神经网络（DNN）反向传播算法(BP)中，我们对DNN的前向反向传播算法的使用做了总结。里面使用的损失函数是均方差，而**函数是Sigmoid。实际上DNN可以使用的损失函数和**函数不少。这些损失函数和**函数如何选择呢？下面我们就对DNN损失函数和**函数的选择做一个总结。
1. 均方差损失函数+Sigmoid**函数的问题
在讲反向传播算法时，我们用均方差损失函数和Sigmoid**函数做了实例，首先我们就来看看均方差+Sigmoid的组合有什么问题。
首先我们回顾下Sigmoid**函数的表达式为：
σ(z)=11+e−zσ(z)=11+e−z
σ(z)σ(z)的函数图像如下：
从图上可以看出，对于Sigmoid，当zz的取值越来越大后，函数曲线变得越来越平缓，意味着此时的导数σ′(z)σ′(z)也越来越小。同样的，当zz的取值越来越小时，也有这个问题。仅仅在zz取值为0附近时，导数σ′(z)σ′(z)的取值较大。
在上篇讲的均方差+Sigmoid的反向传播算法中，每一层向前递推都要乘以σ′(z)σ′(z),得到梯度变化值。Sigmoid的这个曲线意味着在大多数时候，我们的梯度变化值很小，导致我们的W,bW,b更新到极值的速度较慢，也就是我们的算法收敛速度较慢。那么有什么什么办法可以改进呢？
2. 使用交叉熵损失函数+Sigmoid**函数改进DNN算法收敛速度
上一节我们讲到Sigmoid的函数特性导致反向传播算法收敛速度慢的问题，那么如何改进呢？换掉Sigmoid？这当然是一种选择。另一种常见的选择是用交叉熵损失函数来代替均方差损失函数。
我们来看看每个样本的交叉熵损失函数的形式：
J(W,b,a,y)=−y∙lna−(1−y)∙ln(1−a)J(W,b,a,y)=−y∙lna−(1−y)∙ln(1−a)
其中，∙∙为向量内积。这个形式其实很熟悉，在逻辑回归原理小结中其实我们就用到了类似的形式，只是当时我们是用最大似然估计推导出来的，而这个损失函数的学名叫交叉熵。
使用了交叉熵损失函数，就能解决Sigmoid函数导数变化大多数时候反向传播算法慢的问题吗？我们来看看当使用交叉熵时，我们输出层δLδL的梯度情况。
δL=∂J(W,b,aL,y)∂zL=−y1aL(aL)(1−aL)+(1−y)11−aL(aL)(1−aL)=−y(1−aL)+(1−y)aL=aL−y(1)(2)(3)(4)(1)δL=∂J(W,b,aL,y)∂zL(2)=−y1aL(aL)(1−aL)+(1−y)11−aL(aL)(1−aL)(3)=−y(1−aL)+(1−y)aL(4)=aL−y
可见此时我们的δlδl梯度表达式里面已经没有了σ′(z)σ′(z)，作为一个特例，回顾一下我们上一节均方差损失函数时在δLδL梯度，
∂J(W,b,x,y)∂zL=(aL−y)⊙σ′(z)∂J(W,b,x,y)∂zL=(aL−y)⊙σ′(z)
对比两者在第L层的δLδL梯度表达式，就可以看出，使用交叉熵，得到的的δlδl梯度表达式没有了σ′(z)σ′(z)，梯度为预测值和真实值的差距，这样求得的Wl,blWl,bl的地图也不包含σ′(z)σ′(z)，因此避免了反向传播收敛速度慢的问题。
通常情况下，如果我们使用了sigmoid**函数，交叉熵损失函数肯定比均方差损失函数好用。
3. 使用对数似然损失函数和softmax**函数进行DNN分类输出
在前面我们讲的所有DNN相关知识中，我们都假设输出是连续可导的值。但是如果是分类问题，那么输出是一个个的类别，那我们怎么用DNN来解决这个问题呢？
比如假设我们有一个三个类别的分类问题，这样我们的DNN输出层应该有三个神经元，假设第一个神经元对应类别一，第二个对应类别二，第三个对应类别三，这样我们期望的输出应该是(1,0,0)，（0,1,0）和(0,0,1)这三种。即样本真实类别对应的神经元输出应该无限接近或者等于1，而非改样本真实输出对应的神经元的输出应该无限接近或者等于0。或者说，我们希望输出层的神经元对应的输出是若干个概率值，这若干个概率值即我们DNN模型对于输入值对于各类别的输出预测，同时为满足概率模型，这若干个概率值之和应该等于1。
DNN分类模型要求是输出层神经元输出的值在0到1之间，同时所有输出值之和为1。很明显，现有的普通DNN是无法满足这个要求的。但是我们只需要对现有的全连接DNN稍作改良，即可用于解决分类问题。在现有的DNN模型中，我们可以将输出层第i个神经元的**函数定义为如下形式：
aLi=ezLi∑j=1nLezLjaiL=eziL∑j=1nLezjL
其中，nLnL是输出层第L层的神经元个数，或者说我们的分类问题的类别数。
很容易看出，所有的aLiaiL都是在(0,1) 之间的数字，而∑j=1nLezLj∑j=1nLezjL作为归一化因子保证了所有的aLiaiL之和为1。
这个方法很简洁漂亮，仅仅只需要将输出层的**函数从Sigmoid之类的函数转变为上式的**函数即可。上式这个**函数就是我们的softmax**函数。它在分类问题中有广泛的应用。将DNN用于分类问题，在输出层用softmax**函数也是最常见的了。
下面这个例子清晰的描述了softmax**函数在前向传播算法时的使用。假设我们的输出层为三个神经元，而未**的输出为3,1和-3，我们求出各自的指数表达式为：20,2.7和0.05，我们的归一化因子即为22.75，这样我们就求出了三个类别的概率输出分布为0.88，0.12和0。
从上面可以看出，将softmax用于前向传播算法是也很简单的。那么在反向传播算法时还简单吗？反向传播的梯度好计算吗？答案是Yes！
对于用于分类的softmax**函数，对应的损失函数一般都是用对数似然函数，即：
J(W,b,aL,y)=−∑kyklnaLkJ(W,b,aL,y)=−∑kyklnakL
其中ykyk的取值为0或者1，如果某一训练样本的输出为第i类。则yi=1yi=1,其余的j≠ij≠i都有yj=0yj=0。由于每个样本只属于一个类别，所以这个对数似然函数可以简化为：
J(W,b,aL,y)=−lnaLiJ(W,b,aL,y)=−lnaiL
其中ii即为训练样本真实的类别序号。
可见损失函数只和真实类别对应的输出有关，这样假设真实类别是第i类，则其他不属于第i类序号对应的神经元的梯度导数直接为0。对于真实类别第i类，他对应的第j个w链接wLijwijL对应的梯度计算为：
∂J(W,b,aL,y)∂wLij=∂J(W,b,aL,y)∂aLi∂aLi∂zLi∂zLi∂wLij=−1aLi(ezLi)∑j=1nLezLj−ezLiezLi(∑j=1nLezLj)2aL−1j=−1aLi(ezLi∑j=1nLezLj−ezLi∑j=1nLezLjezLi∑j=1nLezLj)aL−1j=−1aLiaLi(1−aLi)aL−1j=(aLi−1)aL−1j(5)(6)(7)(8)(9)(5)∂J(W,b,aL,y)∂wijL=∂J(W,b,aL,y)∂aiL∂aiL∂ziL∂ziL∂wijL(6)=−1aiL(eziL)∑j=1nLezjL−eziLeziL(∑j=1nLezjL)2ajL−1(7)=−1aiL(eziL∑j=1nLezjL−eziL∑j=1nLezjLeziL∑j=1nLezjL)ajL−1(8)=−1aiLaiL(1−aiL)ajL−1(9)=(aiL−1)ajL−1
同样的可以得到bLibiL的梯度表达式为：
∂J(W,b,aL,y)∂bLi=aLi−1∂J(W,b,aL,y)∂biL=aiL−1
可见，梯度计算也很简洁，也没有第一节说的训练速度慢的问题。举个例子，假如我们对于第2类的训练样本，通过前向算法计算的未**输出为（1,5,3），则我们得到softmax**后的概率输出为：(0.015,0.866,0.117)。由于我们的类别是第二类，则反向传播的梯度应该为：(0.015,0.866-1,0.117)。是不是很简单呢？
当softmax输出层的反向传播计算完以后，后面的普通DNN层的反向传播计算和之前讲的普通DNN没有区别。
4. 梯度爆炸梯度消失与ReLU**函数
学习DNN，大家一定听说过梯度爆炸和梯度消失两个词。尤其是梯度消失，是限制DNN与深度学习的一个关键障碍，目前也没有完全攻克。
什么是梯度爆炸和梯度消失呢？从理论上说都可以写一篇论文出来。不过简单理解，就是在反向传播的算法过程中，由于我们使用了是矩阵求导的链式法则，有一大串连乘，如果连乘的数字在每层都是小于1的，则梯度越往前乘越小，导致梯度消失，而如果连乘的数字在每层都是大于1的，则梯度越往前乘越大，导致梯度爆炸。
比如我们在前一篇反向传播算法里面讲到了δδ的计算，可以表示为：
δl=∂J(W,b,x,y)∂zl=∂J(W,b,x,y)∂zL∂zL∂zL−1∂zL−1∂zL−2...∂zl+1∂zlδl=∂J(W,b,x,y)∂zl=∂J(W,b,x,y)∂zL∂zL∂zL−1∂zL−1∂zL−2...∂zl+1∂zl
如果不巧我们的样本导致每一层∂zl+1∂zl∂zl+1∂zl的都小于1，则随着反向传播算法的进行，我们的δlδl会随着层数越来越小，甚至接近越0，导致梯度几乎消失，进而导致前面的隐藏层的W,bW,b参数随着迭代的进行，几乎没有大的改变，更谈不上收敛了。这个问题目前没有完美的解决办法。
而对于梯度爆炸，则一般可以通过调整我们DNN模型中的初始化参数得以解决。
对于无法完美解决的梯度消失问题，目前有很多研究，一个可能部分解决梯度消失问题的办法是使用ReLU（Rectified Linear Unit）**函数，ReLU在卷积神经网络CNN中得到了广泛的应用，在CNN中梯度消失似乎不再是问题。那么它是什么样子呢？其实很简单，比我们前面提到的所有**函数都简单，表达式为：
σ(z)=max(0,z)σ(z)=max(0,z)
也就是说大于等于0则不变，小于0则**后为0。就这么一玩意就可以解决梯度消失？至少部分是的。具体的原因现在其实也没有从理论上得以证明。这里我也就不多说了。
5. DNN其他**函数
除了上面提到了**函数，DNN常用的**函数还有：
1） tanh：这个是sigmoid的变种，表达式为：
tanh(z)=ez−e−zez+e−ztanh(z)=ez−e−zez+e−z
tanh**函数和sigmoid**函数的关系为：
tanh(z)=2sigmoid(2z)−1tanh(z)=2sigmoid(2z)−1
tanh和sigmoid对比主要的特点是它的输出落在了[-1,1],这样输出可以进行标准化。同时tanh的曲线在较大时变得平坦的幅度没有sigmoid那么大，这样求梯度变化值有一些优势。当然，要说tanh一定比sigmoid好倒不一定，还是要具体问题具体分析。
2） softplus：这个其实就是sigmoid函数的原函数，表达式为：
softplus(z)=log(1+ez)softplus(z)=log(1+ez)
它的导数就是sigmoid函数。softplus的函数图像和ReLU有些类似。它出现的比ReLU早，可以视为ReLU的鼻祖。
3）PReLU：从名字就可以看出它是ReLU的变种，特点是如果未**值小于0，不是简单粗暴的直接变为0，而是进行一定幅度的缩小。如下图。当然，由于ReLU的成功，有很多的跟风者，有其他各种变种ReLU，这里就不多提了。
6. DNN损失函数和**函数小结
上面我们对DNN损失函数和**函数做了详细的讨论，重要的点有：1）如果使用sigmoid**函数，则交叉熵损失函数一般肯定比均方差损失函数好。2）如果是DNN用于分类，则一般在输出层使用softmax**函数和对数似然损失函数。3）ReLU**函数对梯度消失问题有一定程度的解决，尤其是在CNN模型中。
下一篇我们讨论下DNN模型的正则化问题。
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参考资料：
1） Neural Networks and Deep Learning by By Michael Nielsen
2） Deep Learning, book by Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, and Aaron Courville