机器学习算法（十九）：最大熵模型
1 熵
详见：熵 https://blog.csdn.net/weixin_39910711/article/details/101299441
熵的概念最早起源于物理学，用于度量一个热力学系统的无序程度。在信息论里面，熵是对不确定性的测量。
1.1 熵的引入
事实上，熵的英文原文为entropy，最初由德国物理学家鲁道夫·克劳修斯提出，其表达式为：
它表示一个系系统在不受外部干扰时，其内部最稳定的状态。后来一中国学者翻译entropy时，考虑到entropy是能量Q跟温度T的商，且跟火有关，便把entropy形象的翻译成“熵”。
我们知道，任何粒子的常态都是随机运动，也就是"无序运动"，如果让粒子呈现"有序化"，必须耗费能量。所以，温度（热能）可以被看作"有序化"的一种度量，而"熵"可以看作是"无序化"的度量。
如果没有外部能量输入，封闭系统趋向越来越混乱（熵越来越大）。比如，如果房间无人打扫，不可能越来越干净（有序化），只可能越来越乱（无序化）。而要让一个系统变得更有序，必须有外部能量的输入。
1948年，香农Claude E. Shannon引入信息（熵），将其定义为离散随机事件的出现概率。一个系统越是有序，信息熵就越低；反之，一个系统越是混乱，信息熵就越高。所以说，信息熵可以被认为是系统有序化程度的一个度量。
若无特别指出，下文中所有提到的熵均为信息熵。
1.2 熵的定义
下面分别给出熵、联合熵、条件熵、相对熵、互信息的定义。
（1）熵：如果一个随机变量X的可能取值为X = {x1, x2,…, xk}，其概率分布为P(X = xi) = pi（i = 1,2, ..., n），则随机变量X的熵定义为：
把最前面的负号放到最后，便成了：
上面两个熵的公式，无论用哪个都行，而且两者等价，一个意思（这两个公式在下文中都会用到）。
（2）联合熵：两个随机变量X，Y的联合分布，可以形成联合熵Joint Entropy，用H(X,Y)表示。
（3）条件熵：在随机变量X发生的前提下，随机变量Y发生所新带来的熵定义为Y的条件熵，用H(Y|X)表示，用来衡量在已知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性。
且有此式子成立：H(Y|X) = H(X,Y) – H(X)，整个式子表示(X,Y)发生所包含的熵减去X单独发生包含的熵。至于怎么得来的请看推导：
简单解释下上面的推导过程。整个式子共6行，其中
- 第二行推到第三行的依据是边缘分布p(x)等于联合分布p(x,y)的和；
- 第三行推到第四行的依据是把公因子logp(x)乘进去，然后把x,y写在一起；
- 第四行推到第五行的依据是：因为两个sigma都有p(x,y)，故提取公因子p(x,y)放到外边，然后把里边的-（log p(x,y) - log p(x)）写成- log (p(x,y)/p(x) ) ；
- 第五行推到第六行的依据是：条件概率的定义p(x,y) = p(x) * p(y|x)，故p(x,y) / p(x) = p(y|x)。
（4）相对熵：又称互熵，交叉熵，鉴别信息，Kullback熵，Kullback-Leible散度等。设p(x)、q(x)是X中取值的两个概率分布，则p对q的相对熵是：
在一定程度上，相对熵可以度量两个随机变量的“距离”，且有D(p||q) ≠D(q||p)。另外，值得一提的是，D(p||q)是必然大于等于0的。
（5）互信息：两个随机变量X，Y的互信息定义为X，Y的联合分布和各自独立分布乘积的相对熵，用I(X,Y)表示：
且有I(X,Y)=D(P(X,Y) || P(X)P(Y))。下面，咱们来计算下H(Y)-I(X,Y)的结果，如下：
通过上面的计算过程，我们发现竟然有H(Y)-I(X,Y) = H(Y|X)。故通过条件熵的定义，有：H(Y|X) = H(X,Y) - H(X)，而根据互信息定义展开得到H(Y|X) = H(Y) - I(X,Y)，把前者跟后者结合起来，便有I(X,Y)= H(X) + H(Y) - H(X,Y)，此结论被多数文献作为互信息的定义。
2 最大熵模型
2.1 最大熵原理
熵的概念在统计学习与机器学习中真是很重要 。今天的主题是最大熵模型（Maximum Entropy Model，以下简称MaxEnt），MaxEnt 是概率模型学习中一个准则，其思想为：在学习概率模型时，所有可能的模型中熵最大的模型是最好的模型；若概率模型需要满足一些约束，则最大熵原理就是在满足已知约束的条件集合中选择熵最大模型。
最大熵原理指出，对一个随机事件的概率分布进行预测时，预测应当满足全部已知的约束，而对未知的情况不要做任何主观假设。在这种情况下，概率分布最均匀，预测的风险最小，因此得到的概率分布的熵是最大。
最大熵原理认为要选择的概率模型首先必须满足已有的事实，即约束条件。在没有更多信息的情况下，那些不确定的部分是“等可能的”，等概率表示了对事实的无知。因为没有更多信息，这种判断是合理的，“等可能”不易操作，可通过“熵最大”来表示。
一个简单的例子介绍最大熵原理：
2.2 最大熵模型
最大熵原理是统计学习的一般原理，将它应用到分类得到最大熵模型。
给定训练数据，可以确定联合分布P(X,Y)的经验分布和边缘分布P(X)的经验分布，分别以和
表示
其中v(X=x,Y=y)表示训练数据中样本(x,y)出现的频数，v(X=x)表示训练数据中输入x出现的频数，N表示训练样本容量。
用特征函数f(x,y)描述x和y之间的某一事实，它是一个二值函数（一般地，特征函数可以是任意实值函数）。
特征函数f(x,y)关于经验分布的期望值，用
表示。
特征函数f(x,y)关于模型P(Y | X)与经验分布的期望值，用
表示。
如果模型能够获取训练数据中的信息，那么就可以假设这里两个期望值相等，即
(2.1)
或
(2.2)
将式(2.1)或式(2.2)作为模型学习的约束条件，假如有n个特征函数，那么就有n个约束条件。
最大熵模型的定义:
假设满足所有约束条件的模型集合为：
定义在条件概率分布P(Y | X)上的条件熵为：
则模型集合C中条件熵H(P)最大的模型称为最大熵模型。式中的对数为自然对数。