终于还是躲不过信号与系统，在此记录学习笔记。???? 争取从零开始一遍搞懂。
本章：复指数信号、傅里叶级数的系数推导、三角函数正交性

友链：奥本海姆第三章

基础1：复指数信号

复指数信号基础知识

• 复指数信号是指数信号的指数因子是复数时，称之为复指数信号。
• 复指数信号在物理上是不可实现的，但是它概括了多种情况。利用复指数信号可以表示常见的普通信号，如直流信号、指数信号、正弦信号等。
• 复指数信号的微分和积分仍然是复指数信号，利用复指数信号可以使许多运算和分析简化。因此，复指数信号是信号分析中非常重要的基本信号。

复指数信号推导1

一般情况下的复指数信号为$f(x)=Ke^{(\sigma + jw)t}$f(x)=Ke(σ+jw)t，其中$\sigma$σ表示实部，w表示虚部，K是实数，记复数$s=\sigma + jw$s=σ+jw，则$f(x)=Ke^{st}$f(x)=Kest。
借助欧拉公式展开：

$f(x)=Ke^{(\sigma + jw)t}=Ke^{\sigma t+jwt}=Ke^{\sigma t}(cos(wt)+jsin(wt) )$f(x)=Ke(σ+jw)t=Keσt+jwt=Keσt(cos(wt)+jsin(wt))

此结果表明：

• 一个复指数信号可分为实、虚两部分。
• 实部包含余弦信号，虚部则为正弦信号。指数因子实部$\sigma$σ表表示振幅随时间变化的情况.
• 指数因子的虚部w表示角频率

虚指数信号

当振幅不随时间变化时，$\sigma=0$σ=0，则信号是$e^{jwt}$ejwt，称为虚指数信号。

• 虚指数信号形式，为等幅正弦信号。
• 具有周期性，其周期为2π/ω；

虚指数信号特性和作用

$|e^{jwt}|=cos^2(wt)+sin^2(wt)=1$∣ejwt∣=cos2(wt)+sin2(wt)=1，即一个周期复指数信号$e^{jwt}$ejwt的绝对值的平方等于1。

如果把虚指数信号作为控制系统的输入函数，那么系统的输出也应当是一个复数，输出的实部与输入的实部：cos（wt）相对应；输出的虚部与输入的虚部：sin(wt)相对应。

作用：
输入一个复指数函数，输出也是复指数，此时可以计算系统输出的振幅($\sqrt{(响应实部^2+响应虚部^2)}$(响应实部2+响应虚部2)​)和相位$w$w。

直流信号

当$\sigma=0 且w=0$σ=0且w=0时，即s=0，此时信号退化为直流信号。

基础2：傅里叶级数

任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，这个级数就称为傅里叶级数
$\boxed{\begin{aligned} X(t)=& a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \cos (n \omega t)+b_{n} \sin (n \omega t)\right]=\\ & a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \sin \left(n \omega t+\theta_{n}\right)=\\ & a_{0}+c_{1} \sin \left(\omega t+\theta_{1}\right)+c_{2} \sin \left(2 \omega t+\theta_{2}\right)+\cdots \\ & n=1,2, \cdots \end{aligned}}$X(t)=​a0​+n=1∑∞​[an​cos(nωt)+bn​sin(nωt)]=a0​+n=1∑∞​cn​sin(nωt+θn​)=a0​+c1​sin(ωt+θ1​)+c2​sin(2ωt+θ2​)+⋯n=1,2,⋯​​

推导傅里叶级数的系数

使用基础1中的虚指数信号，得到
$\boxed{ X(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_{k} \cdot e^{jkw_{0}t}}$X(t)=k=−∞∑+∞​ak​⋅ejkw0​t​

左右同乘$e^{-j n \omega_{0} t}$e−jnω0​t得到：
$x(t) e^{-j n \omega_{0} t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_{k} e^{j(k-n) \omega_{0} t}$x(t)e−jnω0​t=k=−∞∑+∞​ak​ej(k−n)ω0​t

两边对t从0到$T=2\pi/w_{0}$T=2π/w0​积分：
$\int_{0}^{T} x(t) e^{-j n \omega_{0} t} d t=\int_{0}^{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_{k} e^{j(k-n) \omega_{0} t} d t$∫0T​x(t)e−jnω0​tdt=∫0T​k=−∞∑+∞​ak​ej(k−n)ω0​tdt
调换积分次序，提取$a_{k}$ak​：
$\int_{0}^{T} x(t) e^{-j n \omega_{0} t} d t=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_{k}\left[\int_{0}^{T} e^{j(k-n) \omega_{0} t} d t\right]$∫0T​x(t)e−jnω0​tdt=k=−∞∑+∞​ak​[∫0T​ej(k−n)ω0​tdt]

对于右边的积分，由欧拉关系：
$\int_{0}^{T} e^{j(k-n) \omega_{0} t} d t=\int_{0}^{T} \cos (k-n) \omega_{0} t d t+j \int_{0}^{T} \sin (k-n) \omega_{0} t d t$∫0T​ej(k−n)ω0​tdt=∫0T​cos(k−n)ω0​tdt+j∫0T​sin(k−n)ω0​tdt
由三角函数积分的正交性*(见扩充知识)，积分值当且仅当n=k时不为0：
$\begin{aligned} &\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_{k}\left[\int_{0}^{T} e^{j(k-n) \omega_{0} t} d t\right]=T a_{n}\\ &a_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x(t) e^{-j n \omega_{0} t} d t \end{aligned}$​k=−∞∑+∞​ak​[∫0T​ej(k−n)ω0​tdt]=Tan​an​=T1​∫0T​x(t)e−jnω0​tdt​

即知傅里叶级数的系数为
$\boxed{a_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x(t) e^{-j n \omega_{0} t} d t}$an​=T1​∫0T​x(t)e−jnω0​tdt​

扩充知识1：三角函数正交性

“建立三角函数坐标系，1，coswt,cos2wt,…,sinwt,sin2wt,…为正交基（不同基点积=0，同基点积！=1，所以是正交基，但是非标准正交基），则函数f(t)可以表示为三角函数坐标系下的点，其坐标即为a0,an,bn。用f(t)与各个基进行点积计算就可得到a0,an,bn”
该段参考：https://blog.****.net/lijil168/article/details/89261861

例题：已知$f(t)={a_{0}} +\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n w t+b_{n} \sin w t\right)$f(t)=a0​+∑n=1∞​(an​cosnwt+bn​sinwt)，求解$a_{0}、a_{n}、b_{n}$a0​、an​、bn​
解：

• 点积${\langle u,v\rangle}$⟨u,v⟩：等价于按点乘累加，${\langle u,v\rangle}=\int uv dt$⟨u,v⟩=∫uvdt
  

$a_{0}=\frac{\langle f, 1\rangle}{\langle 1,1\rangle}=\frac{\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) d t}{\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{T}{2}} d t}=\frac{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) d t}{T}$a0​=⟨1,1⟩⟨f,1⟩​=∫−21​2T​​dt∫−21​2T​​f(t)dt​=T∫−2T​2T​​f(t)dt​
$a_{n}=\frac{\left\langle f, \cos nw t\right\rangle}{\left\langle\cos nt,\text { cosn }wt \right\rangle}=\frac{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos n t d t}{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos ^{2} n w t d t}=\frac{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos n w t d t}{\frac{T}{2}}$an​=⟨cosnt, cosn wt⟩⟨f,cosnwt⟩​=∫−2T​2T​​cos2nwtdt∫−2π​2T​​f(t)cosntdt​=2T​∫−2T​2T​​f(t)cosnwtdt​
$b_{n}=\frac{\langle f, \sin n w t\rangle}{\langle\sin n w t, \sin n w t\rangle}=\frac{\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(t) \sin n w t d t}{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} n v t d t}=\frac{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(t) \sin n w t d t}{\frac{T}{2}}$bn​=⟨sinnwt,sinnwt⟩⟨f,sinnwt⟩​=∫−2π​2π​​sin2nvtdt∫−21​2π​​f(t)sinnwtdt​=2T​∫−2π​2π​​f(t)sinnwtdt​

注意：三角基正交，但不是标准正交基，因为${\langle 1,1\rangle}，{\langle cosnwt, cosnwt\rangle}，{\langle sinnwt, sinnwt\rangle} \not= 1$⟨1,1⟩，⟨cosnwt,cosnwt⟩，⟨sinnwt,sinnwt⟩​=1

三角函数第二积分常用公式

$\boxed{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x d x=\left\{\begin{array}{ll} \frac{(2 m-1) ! !}{(2 m) ! !} \cdot \frac{\pi}{2} & n=2 m \\ \frac{(2 m-2) ! !}{(2 m-1) ! !}, & n=2 m-1 \end{array}\right.}$∫02π​​sinnxdx={(2m)!!(2m−1)!!​⋅2π​(2m−1)!!(2m−2)!!​,​n=2mn=2m−1​​