对于李群和李代数的理解
需要解决的问题：
假设某个时刻相机的位姿是T，它观察到一个在世界坐标系中的一个空间点p，并在相机上产生了一个观测数据z，那么
z = Tp + noise
noise是观测噪声。那么观测误差就是
e = z - Tp
假设我们总共有N个这样的三维点p和观测值z，那么我们的目标就是寻找一个最佳的位姿T，使得整体误差最小化，也就是
min
T
J
(
T
)
=
∑
i
=
1
N
∥
z
i
−
T
p
i
∥
2
2
(1)
\min _{\boldsymbol{T}} J(\boldsymbol{T})=\sum_{i=1}^{N}\left\|\boldsymbol{z}_{i}-\boldsymbol{T} \boldsymbol{p}_{i}\right\|_{2}^{2}\tag{1}
TminJ(T)=i=1∑N∥zi−Tpi∥22(1)
求解此问题，也就是求目标函数J对于变换矩阵T的导数，而T所在的的SE(3)空间，对加法计算并不封闭，也就是说任意两个变换矩阵相加后并不是一个变换矩阵，这主要是因为旋转矩阵对加法是不封闭造成的，它是有如下约束：
R
T
R
=
I
,
det
(
R
)
=
1
R^{T} R=I, \operatorname{det}(R)=1
RTR=I,det(R)=1
李代数就是解决旋转矩阵对加法不封闭的问题。我们把大写SE(3)空间的T映射为一种叫做李代数的东西，映射后的李代数我们叫做小se(3)好了。它是由向量组成的，我们知道向量是对加法封闭的。这样我们就可以通过对李代数求导来间接的对变换矩阵求导了。
我们SLAM目的就是优化求解相机的这个最佳的位姿T（变换矩阵），优化方法一般都采用迭代优化的方法，每次迭代都更新一个位姿的增量delta，使得目标函数最小。这个delta就是通过误差函数对T微分得到的。也就是说我们需要对变换矩阵T求微分（导数），
李群
群（group）就是一种集合加上一种运算的代数结构，满足封闭性，结合律，幺元（单位矩阵I）和逆。李群的定义是指连续光滑的群，比如我们前面说的旋转矩阵群SO(3)，你想象你拿个杯子就可以在空间中以某个支点连续的旋转它，所以SO(3)它就是李群。如果你一般旋转一边移动它，也是连续的或者说光滑的运动，所以变换矩阵群SE(3)也是李群。
李代数
李代数对应李群的正切空间，它描述了李群局部的导数。
对于某个时刻的R(t)（李群空间），存在一个三维向量φ=（φ1，φ2，φ3）（李代数空间），用来描述R在t时刻的局部的导数。
R
˙
(
t
)
=
ϕ
(
t
)
∧
R
(
t
)
=
[
0
−
ϕ
3
ϕ
2
ϕ
3
0
−
ϕ
1
−
ϕ
2
ϕ
1
0
]
R
(
t
)
\dot{\mathbf{R}}(t)=\phi(t)^{\wedge} \mathbf{R}(t)=\left[\begin{array}{ccc}0 & -\phi_{3} & \phi_{2} \\ \phi_{3} & 0 & -\phi_{1} \\ -\phi_{2} & \phi_{1} & 0\end{array}\right] \mathbf{R}(t)
R˙(t)=ϕ(t)∧R(t)=⎣⎡0ϕ3−ϕ2−ϕ30ϕ1ϕ2−ϕ10⎦⎤R(t)
我们发现旋转矩阵的微分是一个反对称(也叫斜对称)矩阵左乘它本身，反对称矩阵其实是将三维向量和三维矩阵建立对应关系。它是这样定义的：如果一个3 X 3的矩阵A满足如下式子,也就是说反对称矩阵对角线元素都为0。
A
T
=
−
A
A^{T}=-A
AT=−A
对于反对称矩阵A，只有三个*度:
A
=
[
0
−
a
3
a
2
a
3
0
−
a
1
−
a
2
a
1
0
]
A=\left[ \begin{array}{ccc} 0 & -a_{3} & a_{2} \\ a_{3} & 0 & -a_{1} \\ -a_{2} & a_{1} & 0 \end{array} \right]
A=⎣⎡0a3−a2−a30a1a2−a10⎦⎤
则定义一个三维向量
a
=
[
a
1
,
a
2
,
a
3
]
T
a=\left[ a_{1}\; ,\; a_{2}\; ,\; a_{3}\; \right]^{T}
a=[a1,a2,a3]T，则可以用一个上三角符号来定义如下对应关系：
a
∧
=
A
a^{\wedge }=A
a∧=A
这样就可以顺利理解
R
˙
(
t
)
=
ϕ
(
t
)
∧
R
(
t
)
=
[
0
−
ϕ
3
ϕ
2
ϕ
3
0
−
ϕ
1
−
ϕ
2
ϕ
1
0
]
R
(
t
)
\dot{\mathbf{R}}(t)=\phi(t)^{\wedge} \mathbf{R}(t)=\left[\begin{array}{ccc}0 & -\phi_{3} & \phi_{2} \\ \phi_{3} & 0 & -\phi_{1} \\ -\phi_{2} & \phi_{1} & 0\end{array}\right] \mathbf{R}(t)
R˙(t)=ϕ(t)∧R(t)=⎣⎡0ϕ3−ϕ2−ϕ30ϕ1ϕ2−ϕ10⎦⎤R(t)
指数映射关系
李代数小so(3)是三维向量φ的集合，每个向量φi的反对称矩阵都可以表达李群(大SO(3))上旋转矩阵R的导数，而R和φ是一个指数映射关系。我们的目的就是用对李代数求导来间接的对变换矩阵求导了，也就是说，李群空间的任意一个旋转矩阵R都可以用李代数空间的一个向量的反对称矩阵指数来近似。
我们最终得到下面式子，它的前提是R在原点附近的一阶泰勒展开，我们看到这个向量φ=（φ1，φ2，φ3）反应了R的导数性质，故称它在SO(3)上的原点 φ0 附近的正切空间上。这个φ正是李群大SO(3)对应的李代数小so(3)。
R
(
t
)
=
exp
(
ϕ
0
∧
t
)
R\; \left( t \right)=\exp \left( \phi _{0}^{\wedge }t \right)
R(t)=exp(ϕ0∧t)
经过对指数e的泰勒展开，以及反对称矩阵的性质，我们可以得到如下结果：
exp
(
θ
a
)
=
cos
θ
I
+
(
1
−
cos
θ
)
a
a
T
+
sin
θ
a
∧
\exp (\theta \mathbf{a})=\cos \theta \mathbf{I}+(1-\cos \theta) \mathbf{a} \mathbf{a}^{T}+\sin \theta \mathbf{a}^{\wedge}
exp(θa)=cosθI+(1−cosθ)aaT+sinθa∧
其中：三维向量 φ = θa，a是一个长度为1的方向向量，其实有点像罗德里格斯公式 ，罗德里格斯公式（Rodriguez formula）是计算机视觉中的一大经典公式，在描述相机位姿的过程中很常用，表示从旋转向量到旋转矩阵的转换过程，公式如下
R
=
I
+
sin
(
θ
)
K
+
(
1
−
cos
(
θ
)
)
K
2
R=I+\sin (\theta) K+(1-\cos (\theta)) K^{2}
R=I+sin(θ)K+(1−cos(θ))K2
其中：
k
=
[
k
x
k
y
k
z
]
T
k=\left[ k_{x}\; k_{y}\; k_{z} \right]^{T}
k=[kxkykz]T是旋转轴（两个*度），theta是旋转角度（一个*度）；
综上所述，我们得到如下映射关系
李代数求导分两种：一种是用李代数表示位姿，然后根据李代数加法来对李代数求导，但结果中有复杂的雅克比公式，不是很方便。一般都用第二种，就是对李群进行左乘或者右乘微小的扰动，然后对该扰动求导。