我眼中的数学世界

​ 数学世界是什么样子的？每个人眼中都有各自的模样，而我眼中的数学是这个样子的。

做题就是数学，谁的题做的好，谁能做出难题就很牛，这就是我眼中最初的数学的样子。

可是慢慢的数学变成了这个样子：

看不到了计算，看不到数字，用不上花哨的小技巧，更多的是结构的描述和关系的推理。学习起来很“痛苦”，也就半途而废，但心底里却从未放弃，在反反复复的学习教学中我也一直思考我眼中的数学变成什么样了？

那些听不懂的术语和符号已经成为了专业数学的标配，社会大众除了发出“好高深啊”的感叹之余，也就在现代数学的大门之外偶尔撇两眼，就去关注轻松愉悦的话题了。

这确实是现代数学的样子，为了揭示简单现象下的本质，需要复杂而巧妙的数学语言和结构，既要保证描述问题的完整性和严密性，又最好不失直观性。大量知识的积累造成了这样的局面：学习理解现代数学的难度太大，学习起来太抽象了！！！

其实抽象并不可怕，有一些抽象就很简单，比如“1+1=2”这样的一个式子，就是生活中很多问题的统一表达，大家不觉得抽象，因为我们看得到用得着，描述的现象比较表层。

此处有段题外话，我们国家对对“哥德巴赫猜想猜想”和陈景润的广泛宣传，很多人就知道了定理是要证“1+1=2”。但很多人都误解为这是他们脑子中的1+1=2，其实这里的1代表的是素数，2代表的是大偶数，等式代表素数的分解问题。通常我第一次上课也会问一些学生这个事情，也有学生确实不知道，他们真的认为这就是在证明生活中的1+1=2.从这个例子中我就会给我的学生强调我的第一点数学认识 “数学中的等式两端是什么对象，等号的精确数学含义”是学数学很要紧的事情，中学学习时在考试指挥下，同学们过分强调做题训练，已经固化了认识等号就是数相等。

那么数学是如何抽象的呢？有这样一个例子“6÷3=2"是一个大家很熟悉的式子，而“除法”却不仅仅存在于数的运算体系中，上边的式子代表了“6个对象，三个一组 化分成了两组”，表达出来就是“6÷3=2"就是小学的除法，这个式子描述了“这种现象”的数量关系等式。

这种过程”的描述就要用到抽象的语言，6就代表了“集合”，3就代表了“等价类”，2代表了划分结果‘商集’，而在特殊的集合中，比如抽象代数中的“群”“环”结构，群中变成了“正规子群”和“陪集类”，在环中变成了“理想”和“陪集类”。很抽象，但是本质确实是一样的。因为要描述的对象所包含的结构复杂性不同，难度也不同。这也就是为什么把这种运算叫“商”的原因。

上边这段对于没学过抽象代数的人来说可能有点陌生，我想表达的无非一点“数学的概念的定义都是有迹可循，有其最朴素的原始思想，和最直接目的”，除法就是等价关系分类的源泉 ，生活中的大小比较可以抽象为另一种关系“偏序关系”，数字可以比较大小，集合，向量我们所要考虑的对象都可以用合适的方式度量“大小”和“先后”这也是一种数学。

看到上边这张照片，我们会有这样的感觉“他们俩长得真像”，我们都会辨别像与不像，但该如何更精确地描述他们的相似程度，比如相似程度是0.85（每个人都会有个感觉出来的数值），我们可以用数学精确的计算么？

抛开精确的数学语言的一种想法就是“把两个人的脸描述成两张曲面，再放缩到一个标准区域上，两个脸的曲面放到一起看重合的地方占整个脸的比例是多少”，那这样一个思想需要精确的描述用到那些数学呢，我们一起来看看

1、脸的三维曲面的描述不再是中学的简单球面，或者抛物面，平面，这就要用到微分几何中的空间曲面论，但三维脸的曲面却不是我们熟悉的常见函数，只能分片研究，粘合成一个整体，如果在脸上还考虑每一点的肤色的话就要用到微分流形的语言。

2、两个人的脸的大小不一样，需要对比的话就要所谓的放缩，那该如何放缩呢，数学上有两种重要的结构一种是描述空间中点松散程度的拓扑结构（也就是常说的橡皮泥几何），还有空间中点间距离关系的几何结构。这种放缩就需要数学中的“保距”“保角”“拓扑等价”等变换。

3、变成什么状态两个曲面就可以比较了呢，有一些做法是同时投影到单位圆盘上，这就用到了“黎曼几何”“调和映照”等知识和方法。

4、最核心的概念来了，对比的时候两个曲面都有无穷个点，一个个对比是否重合 ，怎么计算重合部分的面积呢，又不是常规微积分中的连续区域，这又要用到测度论的知识，其实面积和距离这样最基本的问题才是数学中最为深刻的问题，也最有有用。

5、上边的都是纯粹数学理论的描述，信息时代问题又有变形，我们不可能纯手工算出上边的问题的。需要计算机来处理上述问题。又诞生了哪些数学结构呢？第一个核心的与初等数学中数同等重要的就是“矩阵”“带有结构的很多数”（下次我们单独写文谈谈矩阵在现代数学中形形色色的角色和身份）如果从照片比较两个人的话，就要用到投影几何，相片的存储就是数字矩阵，如果是三维图片，还是用朴素的对三维脸曲面“三角剖分”，利用三角形的相似性。

所以生活中的任何不起眼的一个小事情做到精细化的思考都需要庞大的数学理论支撑，要不然就会仅仅停留在粗糙的描述和粗略的控制，信息化时代更是如此。

我眼中的数学已经从最初的面貌演化成了如此模样。我还是用一个比喻来结束吧。

我们看到的这个世界，不是世界本身，而是世界在光的作用下映到我们眼中的像，所以所见的永远只是它的一面，对于靠声波认识世界的动物，世界是声波作用下映到它们接受器官中的像，数学对对象的研究就是各种工具作用到研究对象上像的研究，而数学就是这些工具，用这些工具的方法。抽象代数中的群，微积分中的求导，我们会慢慢基于这种观点一起重温一下我们学过的数学概念。

你眼中的数学是什么呢，欢迎一起留言讨论

预告下期：谈谈矩阵身上的各种身份

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