稍有点模态味道的严格蕴涵系统S1 刘易斯逻辑之六
稍有点模态味道的严格蕴涵系统S1 刘易斯逻辑之六
在正式地讨论C.I.刘易斯严格蕴涵的时候，再来回味一下蕴涵这个“字眼”在人类知识领域的重要性，也许有点意思。英文的”if…,then…”，中文译为“如果…,那么…”，古希腊时代就曾经是哲学家讨论的热门议题。历史悠久的中国文字，同样有和这个连接词对应的字眼。意义最相近的，恐怕是墨子的“小故，有之不必然。大故，有之必然”之说矣。
墨经的两故，小故和大故，颇为类似于传统逻辑中，必要条件命题和充分条件命题。由此可知，我们关于蕴涵的语言追寻，不止西文，汉语言文字中也有几乎相通的表达式。但中国文化多意在经国治世，学以致用。西方文化则多玄想冥思，学以寻真。于是西方学者沿着三段论和实质蕴涵这条线，在19世纪中叶，恍然间从数学中找到了逻辑的灵感，建立起和数学联姻的现代逻辑。
墨经
而随着逻辑学科和信息科学的进一步发展，人们对于人类知识的构成，从符号和语言中找到了一种解释途径。
那就是，我们给这个世界的各种对象冠以名称的时候，这些有名有姓的东西就成为“数据”，相当于自然语言中的名词或者逻辑中的概念，这是知识大厦的基底。
当我们把数据和数据用关联性的语词连接，这些数据的组合就变成了“信息”，这相当于自然语言中的语句或者逻辑中的命题，这是知识大厦的砖瓦木石。
而当我们把信息再用另一类连接词连接起来的时候，这相当于自然语言中的语段或者语篇，逻辑中的推理或者导出，这就构成了知识。这相当于知识大厦中，数也数不清的存储各种不同知识的大大小小房间。
知识大厦
对于所有那些连接信息的关系连接词，著名数学家克莱因有过一段评论，他说：
在命题之间最重要的一种关系是蕴涵，即一个命题的真强制着另一个命题的真。
（克莱因《数学：确定性的丧失》第221页）
这个说法后来又被人工智能的学者加塔罗提升到知识建构的高度，他把知识定义为：
知识=信息+关联。
然后特别强调，最基本，最重要的信息关联就是逻辑的蕴涵式：
“如果…，那么…。”（参见加塔罗《专家系统原理与编译》）
20世纪初，罗素《数学原理》中的实质蕴涵，立刻就提升到C.I.刘易斯《符号逻辑概览》中的严格蕴涵，这应该是从逻辑学者的角度对于蕴涵概念高度关注的典型实例。
那么，我们就来看看，刘易斯严格蕴涵的S1，究竟是一个什么样的独特蕴涵？他何以从一个具有关联作用的连接词，联想到了一对经典的哲学范畴：可能与必然？
一、S1在C.I.刘易斯《符号逻辑》一书中的内容分布
上篇博文，我们给出了三套公设A,B,C。依据刘易斯对于S1的描述，他在《符号逻辑》一书中给出的严格蕴涵系统S1，出现在第六章“未解析命题的逻辑斯蒂演算”中。这一章的第1-6节中包含的以下几部分，就是S1的基本内容。
1、第1节中，第125页出现的公设11.1-11.7，也就是C.I.刘易斯提到的公设集合B中的B1-B7。
2、第1-4节中，也就是第123-166页中包含的所有定理。还包含第5节中用到T原则，而不是用T原则的省略而获得的所有定理。
3、这个系统虽然并未含有公设A集合中的A8，或者另一个传递原则，但是，它却含有在T原则形式下，可以运用A8作为推理原则而在第5节中获得的任何定理。
4、当公设B集合中的存在公设B9加到S1，S1就含有在第6节中给出的那些存在定理，这些定理不需要那个一致性公设B8。
可以看到，刘易斯的S1主要出自《符号逻辑》一书，系统序列不是按照时间排序，而是按照它选用什么公理，使用什么原则来安排的。
正是在这样一个S1中，实质蕴涵延续到了严格蕴涵，而严格蕴涵给它下定又的时候，哲学范畴“可能”派上了些许用场。
二、S1系统的基本骨架和定理证明
对实质蕴涵怪论的责难，引发出对于蕴涵概念带点哲学意味的思考。大概英国人麦克考尔，最先用必然和不可能性来描述现代逻辑视野中的蕴涵式。C.I.刘易斯也许受到过麦克考尔的启发，但经过长时间对于实质蕴涵问题的思考，他还是觉得，建立一个不同于实质蕴涵的新蕴涵概念，让我们对于蕴涵的理解回归到蕴涵的通常意义，并依据这种通常意义来建构命题演算，应该是完全可能的。这就如刘易斯自己所说：
发展一个依据蕴涵通常意义的命题演算，这个演算还包括与其通常意义同在的一致性关系，这是完全可能的。(刘易斯《符号逻辑》第122页)
虽然刘易斯建立的第一个严格蕴涵系统，是在他1918年的《符号逻辑概览》一书中。但该书中出现的严格蕴涵系统，后来被他命名为S3，我们在S2后再表。刘易斯在上述引文中提到的命题演算，不是按照时间排序的S3，而是我们现在讨论的S1。正如上节所示，这个S1，它散布在《符号逻辑》一书的整个第六章之中，其基本构件依据今天的逻辑常用符号，系统构件配置惯例，可以概略如下：
1、五个初始符号
1）命题变元：p，q，r，…,
2）否定：∼（并非），∼p可读作“非p”或者“p是假的”
3）逻辑乘：∧，（p∧q）可读作“p并且q”，或者“p真并且q真”
4）“自我一致性”或者“可能性”：◇（可能），◇p读作，“p是自我一致的”，或者“p是可能的”，如果◇之后带有多个命题，例如◇（p∧q），这既可以读作“（p∧q）是可能的”，也可以读作“p和q是一致的”
5）逻辑等值：，pq可读作p与q之间互为严格蕴涵。
2、三个定义
1）析取：∨（析取），（p∨q）=df ∼（∼p∧∼q）
2）严格蕴涵：>（严格蕴涵），（p>q）=df ∼◇（p∧∼q）
3）等价命题：（等价），（pq）=df （p==>q）∧（q==>p）
3、七个公理：以下公理1-7=前述公理集合B中的B1-B7
1）（p∧q）>（q∧p）严格蕴涵的交换律
2）（p∧q）>p 严格蕴涵的合取分离式
3）p==>（p∧p）严格蕴涵的同命题合取叠加式
4）（p∧q）∧r > p∧（q∧r） 严格蕴涵的结合律
5）p>∼（∼p）严格蕴涵的双重否定律
6）（（p==>q）∧（q==>r））>（p>r）严格蕴涵的传递律
7）（（p∧（p==>q））==>q 严格蕴涵的肯定前件式
4、四个转换规则
1）一致性替换规则
任意命题表达式p都可以被替换，只要对p的替换一致并且全面无遗漏。
2）严格等价替换
两个任意的等价表达式可以相互替换。
3）分别断定合取律
如果任意两个单独的命题，分别断定，则这两个分别断定的命题可以形成一个合取命题。
4）严格蕴涵分离规则
如果命题p被断定，严格蕴涵命题（p==>q）也被断定，那么该严格蕴涵被分离，命题q也被断定。(参见刘易斯《符号逻辑》第123-126页)
由以上四个部分构成的一个严格蕴涵系统，就是我们正在讨论的S1基本骨架。依托这个骨架，我们可以导出无数的S1定理。例如，刘易斯在严格蕴涵命题推演中使用的T原则，包含一系列涉及严格蕴涵的定理，这些定理大都运用传递律的公理6，三段论中最常用的一个关系，传递关系。其中的12.77就是其中最重要的一个定理。我们就以这个定理的证明为例，显示一下这个骨架的推演能力。
定理12.77 （（（p==>q）∧（（q∧r）>s）））>（（p∧r）>s））
证明：
[1]（（p>q）∧（q==>r））>（p>r）（公理6 传递律）
[2]（（（r∧∼s）>∼q））∧（∼q>∼p）））>（（r∧∼s）>∼p））（公理六和一致性替换规则）
[3]（（p∧q）>r））（（q∧∼r）>∼p））（（p∧∼r）>∼q））(定理12.6)
[4] （（r∧∼s））（（∼s∧r））（定理12.15）
[5] （（r∧∼s）>∼q））（（∼s∧r）>∼q））（转换规则2）
[6] 同理：（（r∧∼s）>∼p））（（∼s∧r）>∼p））
[7] （（∼s∧r）>∼q））（（q∧r）>s））(定理12.6)
[8] （（∼s∧r）>∼p））（（p∧r）>s））（定理12.6）
[9] （（∼q==>∼p））（（p>q））(定理12.44)
[10] 将[7][8][9]右式替换[2]中相应等价式可得
[11] （（（q∧r）>s））∧（（p>q）））>（（p∧r）>s））
[12] （（q∧r）>s））∧（（p>q））（（p>q））∧（（q∧r）>s））
[13] 将[12]右式替换[11]中相应等价式可得
[14] （（（p>q））∧（（q∧r）>s）））>（（p∧r）==>s））
证毕
S1系统的建构，有许多可供讨论的问题。例如断定、替换、公式的资格审定、公理的设置、辅助符号先后的设定，定理证明的规范等等。在后来的模态S1描述中，这些问题的讨论使得S1更为完善。例如原来的7个公理，其中的公理5没有独立性，就在后来的S1系统中取消了。(参见Hughes and Cresswell《模态逻辑引论》)
以严格蕴涵作为基本符号的S1，还不是最早的模态系统。最早的现代模态系统，也许就是C.I刘易斯在《符号逻辑概览》中的S3。而在稍晚的1920年，波兰华沙学派的卢卡西维奇，就宣称他建立起三值的模态逻辑系统。（参见卢卡西维奇《亚里士多德的三段论》）
关于模态的思考，可以无尽地扩展你的视野。不过，这事情都得一步一步地做，如同俗语所说，这饭得一口一口地吃。我们还是回到原先设定的，对于S1-S5的理解来吧。
我们粗略勾勒了刘易斯S1的概貌，但可以发现，其中的严格蕴涵观念贯穿全系统，哲学模态好像隐藏在这个严格蕴涵的背后，整个系统好像没有什么模态味道似的。
刘易斯好像自己也感觉到这一点，他看得更彻底，不仅缺乏模态的味道，似乎也不是很好的严格蕴涵系统。刘易斯中意的严格蕴涵系统，不是S1，他更愿意把他构建的S2看作是对于严格蕴涵系统更好的表述。（参见刘易斯《符号逻辑》第178页）
三、有生命特征的模态逻辑
S1大概只能简略地了结到此了，这个不那么完善的S1，描述到这里，我想到了本篇前面关于知识的一个比喻。这个比喻把知识看作是一个大厦，一个还没有赋予生命特征的图书馆似的建筑。
但你在思考模态逻辑的初发阶段时，特别是想到这5个系统之间的递增关系，然后再想到整个模态系统的不断扩充延展的关系。你似乎看到了某种类似于生命的观念客体，知识好像不是一个建筑物，而是一棵永恒生长的生命之树。
模态逻辑的成长，好像就是这棵生命之树的一个缩影。从实质蕴涵进展到严格蕴涵，从S1延伸到S5，我们有关模态的观念，如同生命的一个细胞，一个组织或者一个器官的成长。而在观念的背后，还好像有着生命一样的基因。使得我们对于一个学科的理解，隐隐然存在着某种神圣、神秘和永恒。
知识生命之树
走过了S1，自然就是S2。且待下篇分解吧。